我们的题本
把弄懂的题，留在自己的题本里。
系统课程
从小车的两个仪表出发，用缩短时间窗口、正方形拼图与三车赛跑，理解变化率和累积怎样互相联系，再迁移到水桶和三维切片。
从零建立声音、音标、拼写和词义的联系，逐步用到查词典、读生词和课本短句。
用看得懂的例题练习观察、转化、推理与迁移：从题目线索找到下一步，理解方法为什么成立。
先打好数列地基——顺序、项号与猜想说理由，再从固定增量、点阵和周期入手，学倍数递推、相加递推、奇偶拆分、分式符号、数表日历、配对求和、立体堆叠、末位数字与周长面积，最后用中考真题演练与综合检测收束。每课配生活场景、有声演示和自测。
从温度、收支和路程理解正负数，用数轴分清相反数与绝对值，再学会加减、乘除、乘方和科学记数法。附30天加减计算打印题册及深圳中考原卷核验记录。
试卷
练习册
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共 194 道题
第9题 · 用年龄编题：先把条件和问题配完整
开放题，没有唯一答案。先明确想求哪个年龄量，再按已知关系配好条件、写清所求，设未知数并列式。下面只用假设12岁演示一种编法；完成原题时用自己的年龄。既能把现在年龄设为x，也能给出现在年龄、把几年后的年龄设为y。
第5题 · 尺规作和角：先β，再相邻接α
原卷要求用尺规作出∠AOB＝∠β＋∠α，不是求一个数。以相同半径和给角交点间距先作∠AOC＝∠β，再从OC另一侧作∠COB＝∠α，两块相邻且内部不重叠，保留成图与作图痕迹。
第7题 · 从AB连续复制两次α，作出2α
原题给定角α和射线AB，要求作∠CAB＝2∠α。以AB为共同半径，给角取距一次；先从B作D，再从D避开旧B、取新C，两块相邻且不重叠，成图保留全部痕迹。
第9题 · 给α与b，作两端角α、2α的三角形
原题要求尺规作三角形，两内角为α和2α，夹边为b。把给定b两端命名A/B，A处复制一次α、B处连续复制两次α，两主射线相交后才把交点记C，保留成图与痕迹。
第1题 · 弧MN：针尖在E，开口取DC
原角弧与B处大弧使用相同半径OD；量取DC、保持开口移针到E，画出弧MN。F才是两弧交点，M和N是短弧端点。按圆心E与半径DC判断，选D。
第6题 · 在CD上方作∠DBE＝∠ABC
从反向射线BD起，在CD上方复制原角ABC。同一B处大弧截BC、BA、BD于M、N、P，再以P为圆心、MN为开口取上方E，作BE并保留痕迹；下方变式须补同圆下弧。
第2题 · 新交点D：先找等角，再拼成56°
弧①给出OE＝OF＝OD；以E为圆心、EF为半径的弧给出ED＝EF，把∠EOF复制为∠EOD。原图D在OA另一侧，所求∠BOD＝28°＋28°＝56°。三边核验的公共边是OE。
第8题 · 以OB为边作等角，AOC是40°或80°
第1问以OB为边作BOC＝α，题面没有内外限制。第2问给60°和20°，OC在角外时相加得80°，在角内时相减得40°；两种独立成图与原理都保留。
第4题 · 把外面的50°接回三角形，求∠B
原卷是填空题。AD＝AE、CF＝CG＝AD、FG＝DE，按尺规作等角得到∠CAB＝∠FCG＝50°。C处为直角，A、B两锐角合为90°，所以∠B＝40°。全等核验按△ADE与△CFG对应，放在选看部分。
第3题 · 从A处的100°与65°，读到B处35°
尺规痕迹把AD与AB之间的∠DAB复制到B处。原图AB位于∠DAE内部，∠DAB＝100°−65°＝35°，所以∠ABC＝35°；依据共同半径和交点间距，不从水平外观补出平行条件。
第1题 · 先认两条边，再判断∠O是否唯一
答案A。沿∠1的小弧线找两条边；B、C、D都有别的角共用O，不能单写∠O。在已有边上添点不一定增加新方向，三字母记法要把顶点O放中间。
第11题 · 两次称量：先把杯子的总质量与单个质量分清
第一格是13个纸杯的总质量4x＋10，第二格是1个纸杯的质量3x−10。把第一格除以13后再相等，列(4x＋10)/13＝3x−10，得球4克、杯2克，并分别代回两次称量。质量可以为正分数，求出后分别代回每条称量核对。
第2题 · 角相加成立，就一定平分吗
先把四个条件与∠AOC＝∠BOC对照。A、C、D能推出两部分相等；B只说明相加等于整体，20°与60°的反例表明它不能确定平分。
第10题 · 沿痕迹复制两份α得76°，再以B作等角
原图把已知角α单独画在左边；O处同一圆弧连续截取两次相同交点间距，∠AOB＝2α＝76°，并非原题给了角平分线。第二问以A、B作同半径弧，再以G为圆心、EF为半径截P，作射线BP；逐步图与动画保持圆规开口，说明上下两解。
第10题 · 先固定半角，再找OC的两种位置
OD平分80°得到∠BOD40°；OC可在OB两侧各偏30°，分别求得∠DOC10°或70°。先看相邻射线的次序，再决定用哪个大角减哪个小角或把两部分相加。
第9题 · 书店打折：列方程后发现数字对不上——检验的价值
设原价 p、第一天售 n 本：0.8pn=558 得 pn=697.5；第二天 p(n+2) 至少 697.5 却只售 648 元，矛盾。按题面数字此题无解，疑印刷有误。这一课练的正是"解出矛盾先别硬算，回头检验条件"。
第1题 · 去括号：负数乘进去，两项都变号
3−4(x+2) 去括号，−4 要分别乘 x 和 2，得 3−4x−8。选项 A、D 把 4 弄丢了，C 变号只变了一半，只有 B 两项都乘到、都变号。
第5题 · 球有多大，水面就抬多高
底面积不变：3 个小球抬水 6 cm ⟹ 每个小球抬 2 cm；2 个大球抬 6 cm ⟹ 每个大球抬 3 cm。15 个球从 26 抬到 64 共抬 38 cm：设大球 x 个，3x+2(15−x)=38 ⟹ x=8。
第11题 · 圆内不交叉分割：2、4、6、8，得到2n−2
原题要求连线不再相交；四点图只画一条内部对角线，五点图画两条，区域数是2、4、6、8。按图完整分割，外侧弧形块n个、内部三角形n−2个，合2n−2；两点一弦2区也符合。少画内部线时条件改变，不能只凭点数套公式。
第9题 · 过O画垂线和圆，四块三角形求阴影4.56平方厘米
直线l与过O的新垂线m在圆内截出互相垂直的直径AC、BD；整条直线不是直径。圆规开口为2厘米，四交点连成最大正方形，四块底高均2的直角三角形合8平方厘米。按题目π取3.14，阴影12.56−8＝4.56平方厘米。
第1题 · 去分母：整数项也要乘，负分子先加括号
两边同乘最简公分母 6 时，整数 2 也要乘得 12；负号后面的分子乘完要带着括号写成 −(x−7)。四个选项里 A 漏乘整数项、D 丢了系数 2、B 提前拆括号还拆错了，只有 C 三项全对。配有声动画。
第8题 · 两根针一起走：累计转角与此刻夹角
先用一周360°除以所需分钟数，得到分针6°/min和时针0.5°/min。5:00到5:30累计转角分别是180°与15°；3:00的两针夹角是90°。用同一经过时间演示两针运动，再用整圈归位检查转角与夹角的区别。
第7题 · 36°占两份，先求一份再看平角
∠AOB的36°占2份，每份18°，∠COE的3份共54°。结合图中O在A、E之间，平角180°减去两端后得∠BOC＝90°，因此OB⊥OC。
第8题 · 沿折痕保角，三等角拼平角
绕EF真实翻折保持∠FEA＝∠FEA′，接上EA′平分∠FEB，三个相等角拼成180°；每份60°，所求∠FEB占两份，得120°。
第3题 · 固定一条边，数全小于平角的角
先认OE、OD、OC、OB、OA五种方向，每个角用两条边登记。只与后面的边配对，列出4＋3＋2＋1＝10对；OA与OE反向形成唯一平角，排除这一对，得到9个。
第1题 · 同一堆水，换杯子不换体积
乌鸦把宽杯里的水倒进细杯：水量不变，所以 π(8/2)²x = π(6/2)²(x+5)，选 A。题图直接标明水深分别为 x 和 x+5；距杯口的 5 cm 是另一段空白高度，不能单凭它确定水深。
第4题 · 展开图的相对面：隔两格背靠背，相加 a 消失
二二二型阶梯展开图：x－a↔1、5↔y＋a、2↔2 三组相对面 ⇒ x＝1＋a、y＝5－a，两式相加 a 抵消，x＋y＝6。配有声折叠动画。
第2题 · 七条对角线，分成八个三角形
固定A，沿BC、CD直到IJ逐边对应一块三角形，十条边中只有AB、AJ经过A，余下八条边对应八块，选B。七条对角线与八块区域分清，换起点与形状仍检查同一对应。
第2题 · 分母化整数：分子分母一起乘，右边不动
分母化整数用的是分数基本性质：分子分母同乘 10，分数值不变，所以 (x+2)/0.3 变 (10x+20)/3、(0.3x−1)/0.5 变 (3x−10)/5，而等号右边的 1 一动不动。A、D 分子漏乘，B 多乘了右边，选 C。
第4题 · 1.43° 拆成度分秒，5 220″ 并回度
度、分、秒之间是 60 进制：度到分乘 60，分到秒再乘 60；反过来除 60。1.43°＝1°25′48″；5 220″＝87′＝1.45°。
第6题 · 按定义配两对，减去整个负乘积
a×d对应2×x，b×c对应4×(−3)＝−12。原规则是ad−bc，所以得到2x−(−12)＝2x＋12。等于10后同减12、同除以2，得x＝−1。
第7题 · 保留x＝0，检查“同除以x”是否有意义
①两边同加5，②合并为x＝3x，都合法。③想除以x，却没有保证x≠0；正确同减x、同除以2可得x＝0，说明实际遇到0÷0。1＝3是无效除法的错误声称，原方程有解。
第4题 · 两次平分，为什么得到三份
先按条件补图，排出A、D、C、B，再用∠DOC接起两次平分，得到三段相等。90°除以3得30°；新增一条射线后，不能只数小角就认定它们全等。
第4题 · 每一行都横贯全宽，两行各给一个方程
8 块相同小长方形拼图：上行 2 块横放占满宽 12 ⟹ 长边 a=6；中行 3 块竖放也占满宽 12 ⟹ 短边 b=4。每块面积 6×4=24 cm²。
第5题 · 找到共同的∠BOC，再同加同减
∠AOC与∠BOD共用同一个∠BOC。第一问由两端相等同加这块，第二问由两个大角相等同减这块，两空都填＝。两问分别从自己的条件出发。
第3题 · 两边同减2b，直接得到所求
从2a＋b变为2a−b，需要减去2b。两边同减2b，右边2b＋1也减去2b，只剩1。不必分别求a、b；数值例子须先满足原条件。
第4题 · c可以为0，除数c−2不能为0
真正的除数是整个c−2。先找c−2在哪个值为0，再排除c＝2；c＝0时除数是−2，仍然合法。a、b同时为0也不能允许除以0。
第1题 · 等式变形：减a与加b何时等效
由m＝n出发，两边同减a得到m−a＝n−a。要和题目m−a＝n＋b一致，需−a＝b，即a＋b＝0，选D。先给一般理由，再用符合题设的例子检查其他选项；a、b为0也允许。
第2题 · 同乘可以为0，同除必须非0
C正确：由a＝b两边同乘任意c，得到ac＝bc，c为0也允许。A把b−3写成3−b；B没有保证新除数a非0；D的原分式前提要求a、c非0，只能推出bc＝ad，不能直接推出b＝d。各项按自己的前提判断。
第5题 · 分段计费：起步价管一千克，超出的另算
快递费=起步价+单价×(质量−1 千克)。寄上海 2 千克：a=7+2×(2−1)=9；寄北京付费 22 元：10+6(b−1)=22，解得 b=3。
第3题 · "比……大 1"怎么变成方程
"A 的值比 B 的值大 1"翻译成 A−B=1，即 (m+2)/5−(m−2)/2=1；两边同乘 10 得 2(m+2)−5(m−2)=10，解得 m=4/3。
第7题 · 按1∶2∶6分圆，九份里取最大的六份
把一周360°按1∶2∶6分成九个等份，一份40°，三个扇形分别40°、80°、240°。用九等份图看清大于半圆的240°，并同时核对总和与比例；改变为半圆或把比整体扩大时，判断哪条关系保留。
第11题 · [ ] 取整与新运算接力：m＝1，n＝2，[m－(7/4)n]＝－3
代 x＝－1 得 m＝1；代 m＝1、y＝2 得 n＝2；[1－7/2]＝[－5/2]＝－3。取整符号向"不超过"的方向找最大整数，负数易错：－2.5 → －3。
第6题 · 框图倒着走：输出 2，输入是谁
图 5-2-3 的运算流程：输入的数是偶数就除以 2，不是就加 1，再输出。已知输出 2，从输出倒着走两条支：÷2 逆乘回 2 得 4（偶数，门卫放行），+1 逆减去 1 得 1（奇数，放行），答案 4 和 1 缺一不可。配有声动画。
第7题 · 两处x都代4，再比较两边
第（1）问：x＝4是解，代入后左边3×4＝12，右边5×4−8＝12。把同一个值放进两处x，再比较两边，才完成这次数值检验。第（2）问可有不同发现，需说清数字4与未知数x怎样对应；参考表达和理解检查默认折叠。
第4题 · 把负一整体代进x²，算准m
x＝−1是x²−m＝0的一个根，所以代入得到(−1)²−m＝0。平方的底数是整个−1，(−1)×(−1)＝1，因此1−m＝0，m＝1。一个根不表示只有这一个根；m在常数项位置，也不套用其他题的系数非零限制。
第2题 · 粟花在两桶酒上，加起来还是二十斗
清酒 x 斗用粟 8x，醐酒 (4−x) 斗用粟 2(4−x)，两者相加等于总粟 20 斗，方程 8x+2(4−x)=20，选 A。换得清酒 2 斗、醐酒 2 斗。
第12题 · 分组进社区：两种设法，分别列式
按每社区安排1组理解。x表示社区数时，分别表示同一全班人数；y表示全班人数时，分别表示同一社区数。先说明所求量，再处理余下7人与所缺9人。两问只要求列方程。
第10题 · 有无数个解的方程：让 x 消失，两边同时归零
移项聚 x 得 (2a－3)x＝b－2；无数个解 ⇔ 2a－3＝0 且 b－2＝0 ⇒ a＝3/2，b＝2。ax＝b 型方程的三种命运由系数是否为零决定。
第2题 · 墨水盖住的系数：把解代回去，倒着求出它
●x－3＝2x＋9 的解 x＝－3 ⇒ ●＝－2，选 A。已知解反求系数：把 x＝－3 代入方程，解一个以●为未知数的新方程。
第7题 · 答案倒推被油墨盖住的数字
"解是 x=−2"本身就是条件：代回 (1+△x)/3+1=x 得 (1−2△)/3=−3，去分母得 1−2△=−9，△=5。被盖住的数字当作新未知数解方程。
第1题 · 一首诗里藏着不变的客人总数
两种住法描述的是同一批客人：住 7 人则 7x+7，住 9 人则空一间、9(x−1)，总数相等列方程，选 D。解得客房 8 间、客人 63 人。
第5题 · 两艘轮船的方位，∠APB 多大
A 在南偏东 35°、B 在北偏西 50°，把两个方向角画在同一个罗盘上，从 PA 顺时针转到 PB 要经过正南、正西：35°＋90°＋40°＝165°。
第10题 · 除要查零，乘不用查
由 (a+3)x=b−1 除以 a+3 得 x=(b−1)/(a+3) 需要 a+3≠0，a 是字母没有保证，所以不一定可以；反过来分数本身要求分母非零，两边同乘 a+3 总是允许，一定可以。
第10题 · 拓展：字母 k 的方程，先整理成 (k+2)x=4
k(x+1)=k−2(x−2) 两边去括号移项后归成 (k+2)x=4。(1) k=2 时 x=1；(2) 解为整数即 4/(k+2) 是整数，k+2 是 4 的因数，加上 k 为正整数只剩 k+2=4，即 k=2。
第1题 · 看未知数、次数与分母，选出一元一次方程
答案B（x＝3）。一元指未知数只有x一种，一次指整理后真正留下的最高次数为1；原式还要是整式方程。分母是非零数时可以有分数系数，分母含x时要另分。x＝3写成x−3＝0，常数项是−3。
第3题 · 把整个指数m−2与“一次”接起来
m−2整个是x的指数。原式只有一个含x的幂项，系数3不为0，所以一元一次要求m−2＝1，两边加2得m＝3。代回变成3x＋5＝8，确实符合；不靠某一个x代入成立来确定方程次数。
第5题 · 洛书幻方：先从三数齐全的那一列定"幻和"
第一列 5＋4＋9＝18 定幻和；第一行 5＋x＋3＝18 ⇒ x＝10。回填全表八条线全和 18，自洽验证。
第5题 · 付出的50元，哪部分留给商家
方程可写8x＋38＝50，也可写8x＝50−38。x是每个莲蓬的价钱，8x是8个的总价。付出的50元分成商家留下的总价和找回的38元两部分；两部分相加等于付出的金额。把“找回”改成“还差”，要重新看钱的去向。
第7题 · 用方向角＋距离报位置
先沿原图认清60°、45°和30°各从哪条方向线量，再用OP的中点求OC。学校图上2 cm对应实际400 m，推出每厘米表示200 m；商场500 m，停车场800 m。
第7题 · 吉祥物三连问：个数、利润、折扣
设琮琮 x 个，60x+70(100−x)=6650 解得琮琮 35 个、莲莲 65 个；利润=售价−进价，全部售出共获利 2650 元；第二次琮琮 105 个打 n 折，由 105×(8n−60)+1950=3210 解得 n=9，打九折。配有声动画。
第6题 · 提高两成再打八折，并没有回到原价
甲店实价 0.98×原价，乙店实价 1.2×0.8×原价=0.96×原价，乙店反而更便宜 0.02×原价。小王说反了；由 0.02×原价=1 得原价 50 元，甲 49 元、乙 48 元。
第6题 · 奶茶搬家：圆柱的体积 = 长方体的体积
π 取 3：圆柱里奶茶体积 3×4²×12=576，倒入底面 8×8 的长方体后 64h=576，水深 h=9 cm。
第5题 · 看错的是符号，先认清解属于哪条方程
x＝−2属于看错后的5a＋x＝13。代入得5a−2＝13，同加2再同除以5，求得a＝3。原方程仍是5a−x＝13；用同一组数检查两条方程，结果不同。
第9题 · 漏乘的 −1：顺着小华的错走一遍
小华漏乘后实际解的方程是 2(2x−1)=3(x+a)−1，代他的解 x=2 得 a=1/3；再按正确去分母 2(2x−1)=3(x+a)−6，解得原方程的解 x=−3。
第1题 · 移项后的方程长什么样：过等号、变符号
3x＋6＝2x－8 移项得 3x－2x＝－6－8，选 C。移项=跨过等号+改变符号；等号同侧的搬动不叫移项。
第8题 · 电影票分账：人数和 20、钱数和 820
20 口人看两部电影：儿童 35 元看《哪吒之魔童闹海》、成人 45 元看《熊出没·重启未来》。设儿童 c 人，成人 (20−c) 人，票价账 35c+45(20−c)=820，去括号合并得 −10c=−80，儿童 8 人。
第3题 · 九边形：54次计数，27条对角线
6个可连顶点加自己和两个邻居，共9个顶点。九个顶点各数6次共54次，每条线两端各数一次，才除以2得27条；AC与CA是同一条线，部分顶点计数不能直接除2。
第2题 · 固定OA，把70°向两侧各量一次
OA北偏东30°，与它成70°的OB可在两侧。顺时针得到南偏东80°，逆时针得到北偏西40°，答案D。换方向名称时先认起点：南偏东80°也可写东偏南10°。
第8题 · 两类物品先算用书数，再合成36本
可列2x＋3(x＋2)＝36。种子x包，绿植比种子多2，所以有x＋2盆。每包种子用2本旧书，每盆绿植用3本，两类共用2x＋3(x＋2)本，正好是用掉的36本。原题不需要求解，正文也给出按剩余旧书列式的等价方法。
第3题 · 互为相反数：一句话翻成一个方程
(x＋2)＋(2x－5)＝0 ⇒ 3x－3＝0 ⇒ x＝1。"互为相反数"翻译成"相加为零"，"互为倒数"翻译成"相乘为一"。
第5题 · "平安方程"新定义：先把定义翻译成式子
新定义题先照例子验一遍再套用：ax=b 的解 x=a+b。5x=m 里 a=5、b=m，解是 m/5，平安条件给 m/5=5+m，解得 m=−25/4。检验 x=−5/4=5+(−25/4) ✓。
第8题 · O在边AB内部，四条底边对应四个三角形
O在AB内部，BC、CD、DE、EA分别与O围成OBC、OCD、ODE、OEA，共4块。AB经过O，三点共线不能作三角形；同样可在内部完整分割的n边形有n−1块。O靠近A仍是4块，只有重合时才退化为3块，不能按离中心的距离计数。
第10题 · 恒速充电：先统一成满格100份
满格按100份计算，每5分钟增加8份，每分钟增加1.6份。到80%列20＋1.6x＝80；30分钟后只有68%；到85%另设t列20＋1.6t＝85。三问分别从20%开始，二维图保留原有电量并连续增加新充部分。
第1题 · 固定一个顶点，八边形可引5条对角线
对角线连接不相邻顶点。固定A，A自己不能连，邻居B/H连出的是边，其余C/D/E/F/G各对应一条，共8−1−2＝5，选A；形状改变或换起点仍按同一邻接关系计数。
第12题 · 三种起点沿原边数：n−2、n−1、n
按材料完整分割，六边形从顶点、边内非顶点、内部点出发分别4、5、6块；原边与三角形一一对应，排除经过起点的两条、一条、零条原边，得n−2、n−1、n。内部第一段不分区，不能统一套线数加1。补齐三幅六边形完成图、真实描线与配音，边点严格落在边上。
第4题 · 判断五句话：条件、长度与点数
①分成两角还须相等；②距离是线段的长度，CD=3cm是常用长度简写；③线段最短；④方向数不等于无穷点数，不能套一半；⑤按凸多边形内部连线，n−3条分n−2块。选③⑤。
第3题 · 退你的 6 元，就是多算的 2 根棒棒糖
多算 2 根、退 6 元，先得出棒棒糖单价 3 元；再按正确的 2 个布丁加 8 根棒棒糖付 44 元，设布丁 x 元列 2x+8×3=44，得布丁单价 10 元。
第4题 · 滑轮公式：先去分母，再代数字
公式 F=(1/n)(G₁+G₂) 先两边同乘 n 变形成 G₂=Fn−G₁，再代入 F=500、n=2、G₁=300，得 G₂=700 N。先变形后代入，数字不进分数里。
第10题 · 角内添射线，角的总数怎么涨
按AB到AC的顺序，固定一条射线只配后面的射线，数出3、6、10个角，原有大角也要登记。添第k条内部射线新增k＋1个角；n＋2条射线两两配对，每角只计一次，得到(n＋1)(n＋2)/2。
第11题 · 把 x²+3x 当一个数用
仿照例题：5x²−8+15x=−3 两边加 8、除以 5，修剪出 x²+3x=1；所求 2x²+6x−3=2(x²+3x)−3=2×1−3=−1。
第8题 · 读书页数：一句一个式子，加起来
第一天 x/3+10，第二天 x/4−5，"恰好一共 110 页"把它们连成 x/3+10+x/4−5=110；同乘 12（整数项也要乘）得 7x+60=1320，x=180。
第5题 · 解互为倒数：先解能解的那个
(x+1)/2=3x−2 全是数字，先解它得 x=1；1 的倒数还是 1，所以第一个方程的解也是 1，代入 (1−m)/2=1+m/3，去分母解得 m=−3/5。
第3题 · 比 3∶2 是"份数"，设一份就不慌
周长 20、长宽比 3∶2：设一份为 t，长 3t、宽 2t，2(3t+2t)=20 ⟹ t=2 ⟹ 长 6 宽 4，面积 24 cm²。
第1题 · 先找∠BOC，再两次用90°相减
OC平分平角AOE，先得到∠AOC90°。想求∠AOB，还缺∠BOC；它与∠COD25°组成直角DOB，先算得65°，再从∠AOC90°中减去它，得到25°，选B。换数字和射线方向时，先核对整体与部分的关系。
第10题 · 整理全章知识结构，把连接理由讲清楚
开放题参考结构：对照本章线段射线直线、角、多边形和圆三组内容，写出概念与关系。用中点真题示范一条连接，区分圆与圆面，再带着具体问题与同伴交流；结构和画法可以不同。
第6题 · 从公共端点C画两类位置，再求两个中点的距离
先从C确定A、B同侧或异侧，再由中点条件求MC＝2.8 cm、NC＝1.2 cm。同侧从长半段扣去短半段，得1.6 cm；异侧两半段相接，得4 cm。
第9题 · 两级中点怎样分份：DE一份6 cm，CD一份4 cm
从AE＝AD＋DE出发，由两级中点得AD＝2DE、AE＝3DE，所以DE＝6、AD＝BD＝12。再由BC＝2CD得BD＝3CD，CD＝4，最后AC＝16 cm；八空填写逐步说明依据。
第11题 · 双动点：补回已走路程，再把Q的位置找全
1秒后，剩余PN是AM的3倍，已走NB也是MP的3倍，分别补回得PB＝3AP，所以AP＝3 cm。任一合法时刻同样推得AP不变。Q在整条直线上，PQ有6 cm和12 cm两解；分界点与终点的0÷0都单独核对。
第2题 · 剪去一角，先查哪些旧边整条消失
按通常凸多边形、单次直剪角的范围，选A。三角形、四边形、五边形分别给出剩四边形的剪法；六边形至少剩5边。数边时扣掉整条消失的旧边，再添新剪口，剪口端点仍可保留；同时检查凹多边形与零面积的边界。
第5题 · 沿AE翻折后，90°里有哪5份相同的小角
折痕AE两侧的∠DAE、∠EAD′相等。把∠BAD′看作一份，∠CAE是两份；所求半角又是两份加15°。直角里共有5份和两处15°，先90°−30°＝60°，每份12°，所求2×12°＋15°＝39°。附真实沿AE翻折的三维演示和方程选学核对。
第8题 · OC可画在两侧，45°为什么都不变
原题没有限定OC在直角内部。第（1）问随作图为30°或150°；第（2）（3）问两种情形的∠DOE都为45°。内部把两个半角相加，外部从大半角中扣去小半角。
第4题 · 重叠的三个正方形：先找相等的余角
原图三个正方形重叠。先把两个直角共同包含的EOD扣去，得到右侧COE等于左侧DOF，也就是β；再在固定直角AOB内写α＋β＋角3＝90°，求得角3＝90°−α−β。图按原题等边长绘制，数值与边长变式检查适用范围。
第7题 · 两个半角相等，怎样说明两个整角相等
先由BD、CE两条平分线分别找出相等的小角，再用题设∠DBC＝∠ECB连接两处关系。两个整角各由两份相等的小角组成，所以相等；第（2）问得70°、70°和40°。
第3题 · 以OA为共同边，画全两类平分线夹角
两个已知角共用OA，先由平分求∠AOM10°、∠AON25°。OB、OC在OA同侧时取两个半角的差15°，异侧时相加得35°；两类都满足题意。换30°与70°再互换时，具体半角分别变化，只有答案集合相同。
第6题 · 两次相减，找出交叠的角
保留原图两三角形的交叠位置。先用128°减直角90°得∠BOD＝38°，再从另一个直角中减去38°，得∠BOC＝52°；改变摆法后须重认角的范围。
第6题 · 圆环与L形阴影，共用同一个平方差
原图的灰色是大小两个正方形之间的L形，不是四分之三圆环。大圆半径R、小圆半径r也分别是两正方形边长；圆环π(R²−r²)=8，阴影R²−r²=8/π。用取出小圆片、小正方形的分步演示比较两个面积差。
第11题 · 三角尺一起转，先定位置再求时间
先找OB分开的90°，再找OM分开的125°，求得50°和35°＋α。OC平分∠AOM还必须位于角内部，由两个55°确定OM转过70°，再除以每秒7°，得到10秒。
第10题 · 同解方程：两个解相等
同解就是解相同。（1）2x−3=11 解得 x=7，代入 4x+5=3k 得 k=11；（2）两方程分别解成 x=2m−4 与 x=6−3m，同解令它们相等，5m=10，m=2。
第8题 · 树苗的盈与亏：同一个总量，两种算法画等号
设同学 x 名：6x＋15＝7x－33 ⇒ x＝48，树苗 6×48＋15＝303 棵。"剩下"是正盈、"还缺"是负亏，树苗总数用两种方式各算一遍。
第8题 · 瓶子倒过来：不规则的部分变规则
密封瓶正放水高 4、倒放空气高 5，瓶底面积 10：容积 = 水 10×4 + 空气 10×5 = 90 cm³，选 A。倒放让藏在瓶颈里的空气变成规则的圆柱段。
第5题 · 补齐同半径的圆，求得r＝12
45°把同一个圆等分成8份，每份面积18π，整圆144π。用πr²＝144π得到r²＝144，再由12×12＝144和半径为正，求r＝12；比较面积份额要保持同半径。
第1题 · 对准标准角，比出大小
先认共同顶点与贴齐的边：∠AOB比60°大，∠CPD比45°小。把三个大小关系接起来，得到∠AOB＞∠CPD，选B；不需要测出两个角的度数。
第3题 · 认清O点的两个角：45°加30°
A处的90°和B处的60°不能直接相加。先认出一副三角尺的固定角：O点分别是45°和30°，沿公共边拆开∠AOB，得到75°。
第6题 · 分出的6x竿，加上剩下的14竿
方程是6x＋14＝8x。x是牧童人数；每人6竿共分出6x竿，全体分完后还剩14竿，所以原有总数是6x＋14。每人8竿恰好分完，同一总数又是8x。先说明要表示哪一个总量，再判断加减；列方程不要求先求出人数。
第9题 · 六分之一的锐直钝之和，可能是多少
原题只要一个可能值：选∠A＝60°、∠B＝90°、∠C＝120°，先核类别再算出45°。拓展解释结果为何严格在30°与60°之间，并用倒推选角说明范围内每个值都能实现。
第2题 · 把x＝−1代回去，找m与n必然满足的关系
答案B。解使原方程两边相等，代入x＝−1得−m−n＝0，所以n＝−m、m＋n＝0。m≠0来自“一元一次”。m＝1、n＝−1时也互为负倒数，说明性质可以同时成立；题目只能保证互为相反数。
第7题 · 去括号四连练：每一小题埋一个坑
四道解方程把去括号的坑各埋一个：(1) 括号前是正系数 3 也要乘进去；(2) −4(x−3) 去括号得 +12；(3) 两边都有括号、移项后 6x=8；(4) 含分数 5x/2，先两边乘 2 去分母再去括号。答案 −19/2、37/9、4/3、8。
第6题 · 去分母解方程三连练
（1）同乘 2 得 x=−6；（2）同乘 6 时右边的 1 也要乘，得 x=−1/5；（3）先用分数基本性质把小数分母化整，再同乘 6，得 x=10。三题各埋一个经典坑。
第8题 · 同加减要作用两边，同除要认准系数
四题答案依次为−13、5、−27、−5。先用相同的加减消去选定的项；两边都有x时，还要把x项合到一边。最后只除以已知的非零系数，负分数系数也按这个依据处理。
第7题 · 四道小方程：移项、合并、系数化一
(1) x＝4；(2) m＝－5；(3) x＝－5；(4) x＝5。每题同一条流水线：未知数归一侧、常数归另一侧、系数化为一；分数系数先移项再除。
第7题 · 采购账要同时过两本账：数量账和金额账
(1) 设足球 x 个：80x+40(12−x)=640 ⟹ x=4，足球 4、排球 8。(2) 设足球篮球各 y 个：m+2y=12 且 40m+140y=600（640−40 剩余），解得 m=8。
第6题 · 新运算 a★b：照抄规则，代入，解方程
2★n＝2n＋2－n＝n＋2＝－8 ⇒ n＝－10，选 A。新定义题三步：读规则、按位置代入、化简成普通方程。
第9题 · 手环步数：倒着问，就顺着已知一步一步算
小深周一＝15000－1000＝14000，小圳周一＝14000－2000＝12000，小圳周二＝12000－500＝11500 步。多步应用题每步只用两个数；"比谁多"先定谁大。
第6题 · 直线上叠着直角：∠2 是多少
原图中∠1在OA与OB之间，∠2在OC与OD之间。先从直角90°中去掉28°，得到∠BOC＝62°；再从平角180°中去掉62°，得到∠2＝118°。
第9题 · 两幅图共用一个直角分割
按原图把图②的OD放在OB下方；两图OE都在直角COD内部，∠DOE＝90°−1/2∠BOC＝1/2∠AOC，三问依次得24°、70°、a/2。
第8题 · 实付 288 元，原价有两种可能
第二次实付 288 元：若原价 288（未过线无优惠），合并 468 元打九折省 46.8 元；若原价 320（已打九折），合并 500 元九折后省 18 元。选 C。
第4题 · 两位数对调：数字打包成 10a+2a
个位是十位的 2 倍，设十位为 a、个位为 2a，原数 12a、对调数 21a；对调后大 18 得 9a=18，a=2，原两位数 24。对调差不总是 18——它等于 9×(个位−十位)。
第4题 · 八折之后再打折，省的 280 元锚在标价上
标价 1000 元、共省 280 元，实付 720 元；八折后是 800 元，720÷800=0.9，贵宾卡又享受了九折。方程写法：1000×0.8×n/10=720。
第9题 · 免费额度只有一桶：用完就没了
终身 1000 元免额只此一份：超出部分按 0.1% 计费。(1) 两次各提 1900 元：0.9+1.9=2.8 元。(2) 第三次手续费 1.4 元 ⟹ 免额已尽全额计费 ⟹ 提现 1400 元；由前两次手续费 0 和 1.2 反推第一次 400 元、第二次 1800 元，差恰为 1400。配有声动画。
第11题 · 拓展：接一杯开水要多久——不用知道杯子多大
温水流速是开水的 2 倍，接同一杯水温水用时就是开水的一半；开水多花 12 秒，恰是"一半"的差，所以开水 24 秒、温水 12 秒。列方程同样能消掉杯容量：C/v−C/2v=12 → C/v=24。
第3题 · 等长铁丝围图形：周长相等就是方程
同一根铁丝围成的正五边形和正六边形周长相等。设六边形边长为 x cm，五边形边长就是 x+3 cm，周长相等写成 5(x+3)=6x。括号把"边长加 3"打包，正是去括号课时最自然的列方程场景。
第2题 · 木条总长被孔和空白分段铺满
4 个直径 3 cm 的孔共占 4×3=12 cm，5 段空白各长 x，总长 a：4×3+5x=a，解得 x=(a−12)/5 cm。
第9题 · 从进价到标价再到折后价，每步基数都在变
设 A 品牌每个进价 x 元，B 为 (x+40) 元，由 10x+8(x+40)=1400 解得 A 进价 60 元、B 进价 100 元；B 标价 100×(1+60%)=160 元，设打 n 折由 160×n/10−100=28 解得 n=8，打八折。
第2题 · 忘了变号：先顺着错误解出 a，再回头解正确方程
小明去括号没给第二项变号，把方程解成了 3x−x−2a=4。错误方程的解 x=−2 不是垃圾，而是用来求 a 的条件：代进去得 a=−4；原方程实为 3x−(x+8)=4，正确解 x=6，选 C。
第9题 · 集章换酸奶：原有与新增要分清
每瓶要5个章，两瓶用掉10个。原题说明用完所有章，因此盖章后、兑换前恰有10个；它比原有多1个。设原有x个，x＋1＝10，同减1得x＝9。少了“用完”条件时，不能只认关键词列等式。
第3课时第3题 · 分清整排与居中，再数相同的排
第3排起都比第2排多n个，因此整排是m+6+n；居中区域另按m−2、m、m+4计算。39个是三排居中座位，先得每排13、再反推m=9。第3至16排共14排，合计14n+234；改第一排数量或总排数时要重新计数。
第8题 · 按端点对计数，两端折半求中点距离
四个不同端点组成6条线段；AC、BD各含BC，由AB＞CD得AC＞BD。M、N平分两端，MN＝1/2(AD−BC)＋BC＝18；换中点所在线段须重新拆分。
第3题 · 圆规截出的两段，怎样拼满CD
CD＝5。圆规保留CE＝AC、DF＝BD；E与F重合使CD＝AC＋BD。整段AB因此等于两个CD。重合处不一定是中点；改为空出EF＝2时，先补空隙再算。
第4题 · 线段按端点对，射线按端点和方向
逐对列出AB、AC、BC，共3条线段；三个已标点每点两个方向，共6条射线。同一条射线可以有不同名称，原图中AB与AC相同。
第5题 · 数字重排：579到495后，为什么不再变
前三次为975−579=396、963−369=594、954−459=495。再把495输入，954−459仍得495；同一输入按同一规则得到相同输出，所以第2024次也是495。区分到达、检验、运算次数与循环。
第6题 · 被3整除：原数为什么能换成数字和
按数位把4374拆成4356与18；前一部分总是9的倍数。用同样的拆法证明任意四位数的结论，分清原数、数字和与除法余数。
第8题 · 除方：n个数连除，为什么剩n−2个因数
下标数原数的个数，连除从左向右。第一个a不变，后n−1个除号改成乘倒数；前两个因数乘成1，剩n−2个倒数相乘。数清负号，再处理原式的减法。
第7题 · 保留前图，再按语句作图
AB向两端延伸，BD以B为端点经过D，BC、AC取有限部分；标出AC与BD的交点E，再连AD，从A端反向延长。后一步保留前面已画的对象。
第9题 · 延长取中点，再沿射线接成三倍
用AC张口在CA延长线上截出D，再保持AB张口向外接两段得到E。CD＝8 cm与AB＝AC给AB＝4 cm，BE＝12−4＝8 cm；BE＝CD依赖原段等长。
第6题 · 看清AD越过D，再逐项核对
原图AD越过D，水平线上6条射线之外，还要数从A和从D出发的两条。直线1条、射线8条、线段6条；BC与CD端点不同，只有③正确。
第3课时第2题 · 主骨单独数，每条大骨带一组
主骨只有1条；每条大骨与它带的2条中骨组成3条一组。因此m条大骨对应1+3m条骨头，1、2、3条大骨分别得到4、7、10。给总数先减主骨再判断能否完整分组；给中骨数先两两配组，不能把不符合条件的数量硬算成半条大骨。
第7题 · 先画两类线，再用圆规截取AC′
射线AB从A经过B，两条直线交于O；保持圆规张口AC，以A为圆心在射线上截出C′。每个新点都由条件确定，原来的四点不动。
第1题 · 2 的 2024 次方，末位是几
先把指数与末位对齐，再说明每次乘 2 怎样决定新个位。2、4、8、6 每四个一组；第 2024 个正好是一组的最后一个，末位是 6。
第11题 · 直线分平面：从数出来到算出来
添线计数写成公式：aₙ = (n²+3n+4)/2；第三问每项拆成 2(1/(k+1) − 1/(k+2))，中间相消，得 n/(n+2)。
第2题 · 等式成立，就一定是中点吗
选B。C在线段AB上时，AC＋BC＝AB本来就成立；2＋8＝10却没有平分，给出反例。A、C、D都能推出两段相等；再用固定AC、改变全长检查中点条件。
第4题 · C有两种位置，MN为什么都为5 cm
从B左右各量4 cm，再由中点定义取半：中间用3＋2，外侧用7−2；讲清两种情形为什么都为AB的一半。
第5题 · 直线上两种位置，PQ为6或2 cm
原题写直线AC，B可能在AC之间，也可能在外侧。画清两种位置，按中点定义相加或相减，PQ为6 cm或2 cm；外侧A与Q重合。
第7题 · 裂项相消：每个带号加数都要有去处
先用通分证明每个乘积的改写，再把同分母、异号的加数逐对配成0。中间每项都有伙伴，原式才只剩−1与1/2024；改起点或少一项时重新检查。
第11题 · 两速度都有效，第三问先查可达范围
按印刷题干，第（2）问有16与48/7两个有效速度；两种条件时刻都早于各自停止时刻。第三问只在能进入OB的48/7支上发生，实际P只到5/8，所求比值为2。
第3课时第4题 · 翻倍数层，展开按连接数张
拉面每次长条部分翻倍，6次后捏断两头得64根；纸按每层0.1毫米理想叠加，20次厚104.8576米，约37层楼。剪纸要说明剪口方向：5次32层，平行折痕剪透得33张，垂直折痕剪透得2张；原图未画剪口，不能把层数当张数。
第2题 · C在AB外侧，为什么还在直线上
C不在A、B之间，仍在直线AB上。先圈出说法中的点名，再找到整条直线；分清选项B与点B，并检查三点共线时直线AB、AC为什么相同。
第10题 · 从B两侧找C，再把AC取半
BC＝4 cm只给距离，没有给方向。从B两侧各找一次，先按点序求AC＝8或16 cm，再由M平分AC，得到AM＝4或8 cm；改成C在线段AB上后只保留4 cm。
第3课时第5题 · 幂的裂项相消
全程用指数看清裂项：每一项怎样拆成下一幂减本幂，相同幂为什么一加一减相消，最后为什么留下末项的下一幂与起点。底数换成3时，整个差还要除以2。
第2题 · m 个 2 相乘，除以 n 个 3 相加
先圈出两行的运算符号，再数因数或加数。m 个 2 连乘写成 2 的 m 次方，n 个 3 连加写成 3n；整个 3n 是分母，选 A。
第6题 · 射线上截取，先查BC的两个方向
①顺次截出AD＝DB＝m，得到AB＝2m；②只规定C在射线AM上，右交点给2m＋n，左交点在n≤2m时给2m−n。画清交点，再判断加减与范围。
第1题 · 固定点的位置，再判断射线OB和BO
射线OB从O出发经过B；射线BO从B出发经过O。先找端点，再看延伸方向，逐项核对四个说法，并分清线段相同与延长操作不同。
第4题 · 先找倒数，再把函数值配成 1
从和式中圈出输入互为倒数的两项，先算一对，再用分子分母同乘说明每对恒为 1。从 2 到 2023 共 2022 对，中间唯一的 f(1) 单独算 1/2，总和 4045/2；少一个伙伴就要重新配对。
第2题 · 同一种字母乘积，计算有多少份
逐个字母核对指数，再把相同的字母乘积看成同一种份额。用相反数配对与分配律说明为什么只合并系数；不同类保留原和，全相消得0，特殊代值相等不能证明一般运算正确。
第11题 · 关于1的平衡数：先看两数之和
按定义检查a+b是否为2。第（1）问填−2、x−1；第（2）问分别处理两层括号，字母项相消后a+b=6，所以不符合定义。换一个常数检查负号的作用。
第3题 · 找到同一个倍数，整体代入
先把已知等式两边同时加5，得到2x²−3x=5。比较x²项与x项的系数，它们在所求式中都乘了−3，因此−6x²+9x−1=−3(2x²−3x)−1=−16。不必先解出x；两项倍数都要核对，括号外常数单独保留。
第1题 · 系数、次数、项：每个定义各看什么
把同一批因数分成数字与字母，说明为什么π进系数、次数只数字母；列项时保留符号，多项式次数取最高项。换分数、隐含−1或把π换成字母c后，再按定义判断。
第4题 · 中心1枚，四条斜臂各n枚
先圈住中心1枚，四条斜臂都不含中心。按图示每臂各长1枚的方式继续，第n图每臂有n枚，所以共有1+4n枚。从第一图5枚起算，则增加n−1次，得到5+4(n−1)，与4n+1相同。图形添法是一般理由，三个数本身不能唯一决定规律。
第6题 · 两边各差1：补1格，拼成平方
第5式是4×6+1=5²，第n式是(n−1)(n+1)+1=n²。先把序号与两个因数、平方底数逐列对应，再用同一批方格拆条带、转向和补角，说明一般成立；单独核对n=1，不把有限个例子当作证明。
第8题 · 阴影面积：左边直径b，右边半径b
原照左边是直径b的半圆，半径b/2；右边是半径b的四分之一圆。两块空白分别为πb²/8与πb²/4，阴影S=ab−3πb²/8；a=5、b=2时得10−3π/2平方厘米。
第10题 · 整式这一章：知识之间为什么能连线
开放整理任务：用“表示、认识、计算、应用”组织第三章知识，再用例子说明连线理由。参考图不是唯一答案；换一个符号检查知识联系是否仍成立。
第5题 · 四个整式计算：逐项去括号，再合并同类项
忠实完成原照四小题：分数系数先通分；减去括号等于乘−1；外面乘数不漏常数项；x²y与xy²总次数相同也不能合并。逐项显示原项、乘数和乘积，再按相同字母指数分组。
第12题 · 数轴坐标与距离：先读点序，再作减法
由C、B、0、A的顺序确定右减左。AC=5m−6；AB=10时倒推m=4，得到BC=4；一般式中m项相消，所以按原图条件2AB−3BC恒为8。改变点序后重新判断距离。
第9题 · 房屋地面：补上的1×2，最后要减去
沿客厅底边分上下，补齐右侧1米×2米缺口。地面面积14x+7y−2；代x=4、y=3得75平方米，铺砖费用6000元。
第7题 · 先化简再求值：−3要乘到括号内每一项
忠实还原原照第7题：逐项分配1、−3和2，x²项合并为x²，常数−4+6−2相消，化简为x²+3x。最后代x=1得4，并用原式检查符号。
第3题 · 树苗长 n 年，高多少厘米
原高与累计长高分开算。题目假设以后每年仍长高 5 cm；从起初到 n 年末，经历 n 次增加，所以高度是 (100+5n) cm。换成从一年末起算，次数也要跟着改。
第1题 · 定直线的位置，还是比路线长短
原题问“能用线段最短解释”的现象：②架电线与④公路改直，选C。①钉木条、③植树定线用两个不同点确定直线；同一物体要按这次解释的作用选理由。
第9题 · 个位5的平方：四块面积怎样得到n(n+1)
65²的两空分别填数值与规律式。四块面积先合两条，再用分配律得到n(n+1)×100+25；说明接25的数位依据，并检查个位改6后哪些量改变。
第5题 · 原有交点保留，再分类新增几个
原来l₁与l₂相交于P。第三条经过P时1个交点，平行一条时2个，既不过P又两条都不平行时3个。区分原有、新增和总数，并说明分类为什么没有遗漏。
第10题 · 三条直线把平面分成几部分
先按平行和共点关系列全四类，再追踪第三条线怎样使旧区域各多一块，说明结果只有4、6、7部分。
第8题 · 20种车票，为什么最多10个交点
先按甲、乙、丙、丁列出4、3、2、1对城市。去回票的起终点不同，十对对应二十种票；五线也有十对，但不同的对可以共用一个交点，最多十个、最少一个，m+n=11。
第9题 · 20米皮尺怎样把25米树行量直
先固定树行两端的不同位置，确定同一条直线。沿线量0–20米，每5米作标记；把尺的零刻度移到20米处，仍沿原直线量5米。分清累计路程与尺上读数；六棵是两端都栽这一方案的结果。
第3课时第1题 · 一个内部点，为什么净多两块
先把3、5、7当作线索，再回图看1块分成3块与共边两块分成4块，说明每个内部点净增2块。从未画点的1块起算得2n+1，再用角度总账解释为什么不能剪得更多；改变为外边点时重新判断。
第3题 · 两个点定位置，改河道比长短
先找要解释的作用：两个不同位置怎样确定直线，还是同一对端点之间怎样缩短路线。逐幅核对弹墨线、砌墙、摆茶杯和改河道；改变定位条件或行走顺序后，重新判断。
数轴动点与中点：怎样找全三个时刻？
跟着有声数轴动画看追及，再自己拖动时间。抓住 AB 始终为 8，比较 A、P、B 两侧的距离，找全 2、6、10 秒三个中点时刻。
求系数和：不用展开，把 x 换成 0、1、−1
已知 (2x−1)⁵ 展开后写成 a₅x⁵+a₄x⁴+…+a₀，不必知道每个 a 是多少，也能求系数。x 换成 0 拿到常数项，换成 1 拿到全部系数之和，换成 −1 让奇次项变号；再把两个式子相减，得到 a₁+a₃+a₅=122。
密码 L dp d vwxghqw 怎么读：钥匙是一个“位置减三”的式子
密文 L dp d vwxghqw 读出来是 I am a student。钥匙（x−3）里的字母表示字母在字母表里的位置，所以这个式子说的是一件对每个字母都一样的动作：位置减三；a、b、c 退三位要绕到 x、y、z，所以二十六个字母必须排成圈。
代数式怎么写才规范：六条规则与逐题改正
规范就是按约定书写，而且改写前后运算和含义不能变。先认识代数式，再记六条书写规则，然后逐题改正；重点分辨第（3）题运算顺序不能变、第（6）题和式带单位要加括号。
卡片猜数字：十位藏着第一张卡片
把“乘 5、加 7、乘 2、加卡片 B”写成 10A＋B＋14，就能看出最后得到的数里，十位是第一张卡片、个位是第二张卡片。甲要做的只是先减 14，再读十位和个位。
路弯了，剩下的草坪为什么一样多：把路竖着切成长条
直路和弯路留下的草坪面积都是 ab − a 平方米。把路竖着切成细条，每条只上下平移，就看懂“路弯的是形状，不是宽窄”。
新数 i 的乘方循环：2i¹⁰⁰+1 怎么算
题目定义了一个新数 i，满足 i²=−1。不需要认识更多新东西，只要发现 i 的幂每 4 个一循环（i、−1、−i、1），再用指数除以 4 的余数定位：100 = 4×25，i¹⁰⁰ = (i⁴)²⁵ = 1，所以 2i¹⁰⁰+1 = 3。
走过的路与离 0 的距离：比较 |a|+|b| 和 |a+b|
把 |a|+|b| 读成“两步一共走了几格”，把 |a+b| 读成“走完以后离 0 几格”。不走回头路两边相等，走了回头路前一个更大，所以是“≥”；再倒过来用，从“走了 12 格、离 0 只有 2 格”找回两步，得到四个答案。
用“走路”理解有理数加法法则与减法法则
把每个有理数看成数轴上的一步：正数向右、负数向左，绝对值是格数。看小人走两步——同方向越走越远，反方向先抵消再看剩下——加法法则的几种情况和减法的“变号”就成了同一件事。
第 11 题：用数轴理解绝对值与距离之和的最小值
把绝对值读成两点间的距离，解答三个任务，并看懂为什么点在线段内时距离之和最小，而且不只中点能取到。
从离家多远理解绝对值：为什么负数时等于 −a？
在街道上看离家多远，在温度计上看离 0℃ 相差多少，再把具体数字换成 a。用带语音的动画看懂：a 是负数时，−a 是正数，正好表示 a 到 0 的距离。
四舍五入到亿位：为什么选 C，不选 B？
看清“所有的数”，找到 39 亿 5000 万与 40 亿 5000 万两个分界点，再判断整段蓝色区域是否都约等于 40 亿。
纸盒拓展探究：剪开几条棱，怎样得到最小周长？
按题目顺序讲三问：判断正方体展开图、求两种纸盒的体积；重点讲第（3）问——为什么剪 7 条棱，为什么剪口长度要乘 2，怎样真的做出周长最小的展开图。
正方体的11种展开图：怎样理解和记忆？
先看懂“四个面围一圈，两个面当盖子”，再用 6＋3＋1＋1 分组记住 11 种展开图，最后一张一张折回去检验。
涂色正方体：怎样分清顶角、棱中、面中央和内部？
小正方体在大正方体的什么位置，就决定它有几个面涂色。按顶角、棱中、面中央、内部四个位置来数，不漏也不重复，最后用两种办法验算。
小立方体组合体：怎样直接算总表面积？
从正面、左面、上面各看一眼，数出看到几格；对面也有同样多的外露面。三个数相加再乘 2 就是总表面积，底面也要算。再用整面相贴法验算。
正方体截去一角：怎样判断表面展开图？
切掉的三个小角原来是同一个顶点 O。把缺角补回去，在展开图上找到 O，就能看出哪个选项的三个缺口能凑到一起。
纸片折成无盖盒子：为什么长和宽都要减两次？
从纸片的两端各留一段作盒壁，找出底面的长和宽，再分清底面积与容积，跟着三维过程看懂折痕。
五棱柱的截面：为什么最少三条边，最多七条边？
截面的每一条边，都是切过一个面留下的。五棱柱有 7 个面，所以最多 7 条边；切掉一个角，得到最少的 3 条边。跟着三维切割看三角形和七边形。
三个正方形的阴影面积：变了形，面积为什么不变？
画出原来的高 DM 和变化后的高 BN，看懂等底等高，再把阴影变成中间的正方形，求出面积。
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