第11题 · 三角尺一起转，先定位置再求时间

题目

如图 4-2-15①，一个直角三角尺的直角边 OM 在直线 AB 上，作射线 OC，使 ∠BOC＝125°。

（1）将该三角尺绕直角顶点 O 逆时针旋转，当直角边 OM 在 ∠BOC 的内部、直角边 ON 在直线 AB 的下方时（如图 4-2-15②），

①若 ∠BON＝15°，则 ∠COM 的度数为________；

②若 ∠BON＝α，则 ∠COM 的度数为________（用含 α 的代数式表示）；

（2）若该三角尺绕直角顶点 O 按每秒 7° 的速度逆时针旋转一周，在旋转的过程中，经过多少秒时，射线 OC 恰好是 ∠AOM 的平分线？

答案：（1）①50°；②35°＋α；（2）10秒，一周内只有这一次。

先确定三角尺要转到什么位置，再把转角换成时间。整把尺绕O转动，直线AB、射线OC不动，∠MON始终为90°。

需要用到：平角是180°，直角是90°，角平分线把一个角分成相等的两部分；转角＝速度×时间。

第（1）①问：两次“整体减一部分”

本小问同时规定：OM在∠BOC内部，ON在直线AB下方。在这个位置，OB位于直角MON内部。

因此∠BON与∠BOM相邻，合起来是三角尺的直角：

$$\angle BON+\angle BOM=90^\circ,$$ $$\angle BOM=90^\circ-15^\circ=75^\circ.$$

这75°是OM从初始OB方向转过的角度。接着看OM分开的125°：

$$\angle BOM+\angle COM=125^\circ,$$ $$\angle COM=125^\circ-75^\circ=\boxed{50^\circ}.$$

核对：15°＋75°＝90°，75°＋50°＝125°，两次都拼回了对应的已知角。

第（1）②问：换成α，位置条件要保留

α表示∠BON。把上面的15°换成α，两次拆角的理由都保留：

$$\angle BOM=90^\circ-\alpha,$$ $$\angle COM=125^\circ-(90^\circ-\alpha),$$

减去“90°−α”，可以先减去90°，再加回α，所以：

$$\angle COM=\boxed{35^\circ+\alpha}.$$

要减去的是整个“90°−α”，所以先写括号。代入α＝15°，仍得50°。

本小问的位置条件要求0°＜α＜90°。OM不能停在OB上，ON也不能停在AB上；三角尺转到其他位置时，不能继续直接套用35°＋α。

第（2）问：先找平分的位置，再求时间

重新从图①出发。OA与OB方向相反，OC位于平角AOB内部，所以：

$$\angle AOC=180^\circ-125^\circ=55^\circ.$$

OC要平分∠AOM，必须位于∠AOM内部，还要有∠COM＝∠AOC＝55°。从OA向OC量55°以后，还要沿同一方向再量55°，才能到达OM。

于是OM位于OB与OC之间，从初始OB方向逆时针转过：

$$\angle BOM=125^\circ-55^\circ=70^\circ.$$

每秒转7°，转过70°需要：

$$t=70^\circ\div(7^\circ/\text{秒})=\boxed{10\ \text{秒}}.$$

核对：7°/秒×10秒＝70°；∠COM＝55°，∠AOC＋∠COM＝110°＝∠AOM，位置与数值相符。

为什么旋转一周只有这一次？

OA、OC都固定，要让两个55°紧挨着拼成∠AOM，OM的方向就确定了。一周内OM只会到达这个方向一次。

只检查“∠AOC＝∠COM＝55°”会多选一个错误位置：当OM与OA同向时，两者也都是55°，但它们重叠在同一块区域，∠AOM为0°。

所以两角相等，还要检查OC位于∠AOM内部。不能把∠AOM在一周内的变化说成一直增大：它先从180°减到0°，再从0°增到180°。

观察三角尺怎样一起转

虚线保留同一把尺的初始位置。观察O不动、M与N一起转、直角记号和圆孔跟着尺走。探索可以检查完整的一周，转到360°时，姿态回到起点，但题中已经经过360÷7秒。

带走的方法与自测

先指出谁不动、谁一起转；再找哪些角相邻，能拼成已知的直角或平角。遇到角平分线，检查内部位置与两角相等。目标转角确定后，再用转角除以速度。

自测：若∠BOC改为120°、速度改为每秒6°，其余条件不变，第（2）问需要多少秒？先指出要相等的两个角，再求转角。不能直接沿用原来的70°。

展开自测答案与理由

先算∠AOC＝180°−120°＝60°。平分时，∠COM也为60°，两块角要相邻拼成∠AOM。

OM应从初始方向转过120°−60°＝60°，因此时间是60°÷(6°/秒)＝10秒。

时间恰好仍是10秒，但转角已从70°变成60°，速度也变了，必须重新计算。核对：6°/秒×10秒＝60°，两块60°拼成120°的∠AOM。

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与本课“旋转中的直角不变、角平分线的位置判断”直接对应的近五年中考原题尚未完成原卷核验，暂缓收录。