第8题 · 沿折痕保角，三等角拼平角

题目

如图 4-2-13，将长方形纸片的一角折叠，使顶点 A 落在 A′ 处，EF 为折痕，且 EA′ 恰好平分 ∠FEB。

（1）判断 ∠FEA 与 ∠A′EB 的大小关系，并说明理由；

（2）求 ∠FEB 的度数。

答案：（1）∠FEA＝∠A′EB；（2）∠FEB＝120°。

核心是把三条关系接起来：折叠保角 → 平分给出等角 → 三个相等角拼平角。先分清折痕EF、原顶点A与折后顶点A′，再判断所求∠FEB包含哪几段角。

第一步为什么先找折痕

需要会认角的顶点与两边，知道平角是180°，并理解角平分线把一个角分成两个相等的角。

题目说A沿EF折到A′。先在图上指认不动的E、F，再把折前的EA对到折后的EA′。这一步值得做，是因为第一问比较的两个角还没有直接联系，而折叠能提供一条新的等量关系。

A′中的“′”读“撇”，表示A折到的新位置。原图的虚线保留折前A的位置，方便比较；纸片没有多出一个角。三维演示从折前开始，同一个A绕EF翻起，再落平成为A′；相机旋转只改变观看方向。

第（1）问：用∠FEA′接起两个角

EF是折痕，E、F不动；三角形AEF整块翻折，边长和边之间的夹角保持不变。于是折前的∠FEA与折后的∠FEA′同样大：

$$\angle FEA=\angle FEA'.$$

另一条条件是EA′平分∠FEB。“平分”指的是∠FEB被EA′分出的两部分相等：

$$\angle FEA'=\angle A'EB.$$

两条等式中都有∠FEA′，因此能接起来：

$$\begin{gathered}\angle FEA=\angle FEA'\\=\angle A'EB.\end{gathered}$$

所以第（1）问的∠FEA与∠A′EB相等。折叠和平分各给一条依据，不能只写“三个角看起来一样大”。

第（2）问：相等还缺总度数，从原底边找180°

这里的A表示折前原位置，A′是纸角折后的位置。三段角依次是∠FEA、∠FEA′、∠A′EB：

$$\begin{gathered}\angle FEA+\angle FEA'\\+\angle A'EB=180^\circ.\end{gathered}$$

三份相等，因此每份为：

$$180^\circ\div3=60^\circ.$$

所求∠FEB的两边是EF、EB，EA′在它内部。它包含后两份，不是只有最后的∠A′EB：

$$\begin{gathered}\angle FEB\\=\angle FEA'+\angle A'EB\\=60^\circ+60^\circ\\=\boxed{120^\circ}.\end{gathered}$$

∠FEA＝∠FEA′＝60°；∠A′EB＝60°。

∠FEB＝120°，包含∠FEA′与∠A′EB。

代回条件核对

折叠保角：∠FEA＝∠FEA′＝60°。平分条件：∠FEA′＝∠A′EB＝60°。原底边的平角：60°＋60°＋60°＝180°。另外，∠FEA与∠FEB也直接拼成180°，60°＋120°吻合。

这些关系来自折叠、平分和共线的位置条件。图形只帮助指认对象；无需量图中的角，也不用把长方形顶点的90°加入这条等角链。

条件变化：还剩哪些理由

自测：只保留矩形与折叠，去掉“EA′平分∠FEB”，把折前的∠FEA改成50°。此时∠FEA′、∠FEB、∠A′EB分别是多少度？请说明哪条等式保留，为什么不能继续把180°三等分。

展开新条件的图与推理

∠FEA＝∠FEA′＝50°；∠A′EB＝80°。

∠FEB＝130°，包含∠FEA′与∠A′EB。

折叠仍保持∠FEA′＝∠FEA＝50°。原底边仍是平角，故∠FEB＝180°−50°＝130°。再从∠FEB中去掉∠FEA′，得∠A′EB＝130°−50°＝80°。

因此50°＋50°＋80°＝180°，但50°与80°不相等，EA′不平分∠FEB。80°是∠A′EB，不能写成∠FEB。新图改变了平分条件，不是原题的另一解。

如果同时保留原题全部条件又要求∠FEA＝50°，三个相等角只能合成150°，与平角180°矛盾；这样的条件不能同时成立。

带走的动作是：指认折痕与对应边，写出折前角＝折后角；接入题目给定的平分等关系；沿明确的射线次序找总角；最后确认所求由哪几部分组成。只有对应的条件保留时，原来的理由才能继续使用。