第9题 · 两幅图共用一个直角分割

题目

如图 4-2-14，点 O 在直线 AB 上，∠COD＝90°，OE 平分 ∠BOC。

（1）如图 4-2-14①，若 ∠DOE＝12°，求 ∠AOC 的度数；

（2）如图 4-2-14②，若 ∠AOC＝140°，求 ∠DOE 的度数；

（3）如图 4-2-14②，若 ∠AOC＝a，求 ∠DOE 的度数（用含 a 的代数式表示）。

答案：（1）∠AOC＝24°；（2）∠DOE＝70°；（3）∠DOE＝a/2。

两幅图的D位置不同，但有一个共同关系：OE都在直角∠COD内部，∠DOE与∠COE合起来是90°。先在每幅图上指认OD、OE、OC，再接上“平分”与“平角”。

第一眼先找哪条射线在直角内部

需要会认角的顶点与两边，知道平角为180°、直角为90°，并理解角平分线把一个角分成相等的两半。

题目既给∠COD＝90°，又给OE平分∠BOC。先圈出OE在∠COD内部的位置，因为这样就能把“直角”与“半角”接在一起：

$$\angle DOE+\angle COE=90^\circ.$$

图①的OD在AB上方；图②的OD在OB下方。两图从OD转到OC时都经过OE，所以都能从90°中去掉∠COE，得到∠DOE。要先认清哪个角被哪条射线分开，不能只看“OD在∠BOC内或外”就决定加减。

第（1）问：从12°找到半角，再求平角剩下多少

图①已知∠DOE＝12°。它与∠COE一起组成直角∠COD：

$$\angle COE=90^\circ-12^\circ=78^\circ.$$

OE平分∠BOC，因此∠BOE也是78°。两份合起来：

$$\angle BOC=78^\circ\times2=156^\circ.$$

O在A、B之间，OA与OB方向相反。∠AOC与∠BOC合成平角，故：

$$\angle AOC=180^\circ-156^\circ=\boxed{24^\circ}.$$

第一问求的是∠AOC；156°是中间求出的∠BOC，不是最终答案。

第（2）问：图②的OD向下，OE仍在直角里面

$$\angle BOC=180^\circ-140^\circ=40^\circ,$$ $$\angle COE=40^\circ\div2=20^\circ.$$

$$\angle DOE=90^\circ-20^\circ=\boxed{70^\circ}.$$

也可按图核对：∠BOD＝90°−40°＝50°，∠BOE＝20°。∠DOE跨过OB，合成20°＋50°＝70°。这里不能把整个直角90°再加上20°，因为那样重复超出了原题所求的范围。

第（3）问：小写a表示角的大小

保留图②的位置，只把∠AOC＝140°换成∠AOC＝a。这里是英文字母小写a；图中的点A是大写点名，两者的含义不同。

平角先给出：

$$\angle BOC=180^\circ-a.$$

平分得到：

$$\angle COE=\frac{180^\circ-a}{2}=90^\circ-\frac{a}{2}.$$

再从90°中去掉这个半角：

$$\begin{gathered}\angle DOE\\=90^\circ-\left(90^\circ-\frac{a}{2}\right)\\=\boxed{\frac{a}{2}}.\end{gathered}$$

这一步是在90°中去掉“比90°少a/2的一部分”，留下a/2。按图②OD向下的位置，a表示钝角的大小；以上关系依靠OE在∠COD内部，图①也满足同一分割关系。

代回核对，并带走共同关系

图①：12°＋78°＝90°，两个78°合成156°，24°＋156°＝180°。图②：70°＋20°＝90°，两个20°合成40°，140°＋40°＝180°。

一般式也与两问相符：24°的一半是12°，140°的一半是70°。这些数值用来核对；一般成立的理由是直角分割、角平分、平角三条关系，不是只凭两个例子猜出“一半”。

自测：保留位置和改变位置分别检查

保持原图②的OD向下，把∠AOC改成120°。∠DOE是多少？请先指出OE在哪个角内部，再计算。

展开120°条件的图与推理

∠AOC＝120°；∠BOC＝60°；∠COE＝30°。

OE在∠COD内，∠DOE＝90°−30°＝60°。

∠BOC＝60°，平分后∠COE＝30°，所以∠DOE＝90°−30°＝60°。与120°的一半吻合。

再改变位置：仍给∠AOC＝140°、∠COD＝90°且OE平分∠BOC，明确把OD换到另一条垂直射线上，指向上左方。这一次还能沿用“90°减半角”吗？

展开改变OD方向的新图

∠AOC＝140°；∠BOC＝40°；∠COE＝20°。

OC在∠DOE内，∠DOE＝90°＋20°＝110°。

新图中OC在∠DOE内部，∠DOE＝∠COE＋∠COD＝20°＋90°＝110°。改变了OD的位置，分割角的射线也变了；这不是原题图②的另一解。

带走的动作是：先指认大角及其内部的分界射线，写出相邻角的合成关系，再接上平分与平角。“在内、在外”必须说清相对哪个角，不能用一个位置标签代替图上的推理。