第7题 · 36°占两份，先求一份再看平角
∠AOB的36°占2份，每份18°，∠COE的3份共54°。结合图中O在A、E之间，平角180°减去两端后得∠BOC＝90°，因此OB⊥OC。
题目
如图 4-2-12，点 A、O、E 在同一条直线上，∠AOB＝36°，∠AOB∶∠COE＝2∶3。
（1）求 ∠COE 的度数；
（2）OB 与 OC 垂直吗？试说明理由。
∠AOB＝36°；∠AOB∶∠COE＝2∶3
答案：（1）∠COE＝54°；（2）OB与OC垂直，因为∠BOC＝90°。 先把36°对应到比中的2份，再按3份求∠COE，最后计算两射线的夹角。
第一步：把比的前后项对回角名
∠AOB∶∠COE＝2∶3，表示按同样大小的单位来分，∠AOB占2份，∠COE占3份。
已知∠AOB＝36°，这36°是两份合起来的大小，每份就是36°÷2＝18°。不能把36°当成一份，再乘2。
第（1）问：3份共多少度
∠COE占同样大的3份，所以∠COE＝18°×3＝54°。
∠AOB：36°合起来占2份
每份＝36°÷2＝18°。
∠COE：取同样大的3份
已合成3份，合计54°。
∠COE＝18°×3＝54°。
这些小块只表示同样大的份数；虚框是待合成的位置，不是新增的原题对象。
“2”和“3”是对应的份数，“18°”才是这一份的大小，36°与54°分别是两份、三份合起来的总角度。
第（2）问：先算∠BOC，再判断垂直
结合原图，O在A、E之间，因此OA与OE反向，∠AOE是180°的平角。从OA朝OE查看，依次经过OB、OC，三段没有重叠、没有遗漏：
∠AOB＋∠BOC＋∠COE＝180°。
∠AOB＝36°；∠AOB∶∠COE＝2∶3
∠COE＝54°
两端已经分别求得36°、54°，中间剩下的∠BOC＝180°−36°−54°＝90°。
∠AOB＝36°；∠AOB∶∠COE＝2∶3
∠COE＝54°
∠BOC＝90°；OB⊥OC
每份＝36°÷2＝18°；∠COE＝54°。
∠BOC＝180°−36°−54°＝90°。
∠BOC为直角，所以OB与OC垂直。∠BOC是OB与OC张开的夹角。计算得到它等于90°，也就是直角，所以OB⊥OC。结论来自角度计算，不能只因为图看起来像直角就判断垂直。
讲解简图为了看清这些关系暂不画无关的OD，完整原题图仍保留D。题干没有给出OD的角度关系，也不能从它的示意位置推断平分或比例。
代回去，检查比和总角度
36°∶54°同时除以18，正好是2∶3，两个角与比的对应没有颠倒。
36°＋90°＋54°＝180°，三段又恰好拼回同一侧的平角。
本题中两端的角合为90°，中间才剩90°。两端若改变，就要重算∠BOC，不能保留“垂直”这个结论不动。
改度数，再检查点的位置
保持原图位置，把∠AOB改成40°，比仍为2∶3，请先求一份、∠COE，再判断∠BOC是否还为90°。
再想一想：如果A、O、E仍共线，但O不在A、E之间，OA与OE还构成平角吗？原来的180°关系能否照用？先画一画，再展开。
展开40°的计算与O在外侧的新图
原图位置不变时，每份40°÷2＝20°，∠COE＝20°×3＝60°，∠BOC＝180°−40°−60°＝80°。80°不是90°，所以OB与OC不垂直。
∠AOB＝40°；∠AOB∶∠COE＝2∶3
∠COE＝60°
∠BOC＝80°；OB与OC不垂直
下面是改变O位置的新图：A、E都在O同一侧，OA与OE同向。它不保留原题图中O位于A、E之间的位置，不是原题的另一解。
∠AOB＝36°；∠AOB∶∠COE＝2∶3
∠COE＝54°
∠BOC＝18°；OB与OC不垂直
新图仍可满足∠AOB＝36°、∠COE＝54°与2∶3，但这次∠BOC＝54°−36°＝18°，不能再用原图的平角分割。三点共线本身没有保证两条射线反向。
可带走的动作是：把比的每一项对应到具体角，先求相同的一份；再结合图判断哪些角真正拼成整体，最后用计算出的夹角判断垂直。已知数字或点的位置改变后，要重新核对这些关系。
近五年中考原卷配套题尚未核实，本页不把这道题本题或讲解中的检查例子标成中考真题。