同步数学练习册（七年级上册）

这一课时练习用运算性质解释规律：先把算式中的数、运算符号和位置对应起来，再说明每一步为什么成立。

共同的做题动作：**先读操作或生成规则，再用计算、表格整理变化。**例子可以帮助发现关系；要说明后面是否继续保持，还需要回到规则给出理由。

校对进度：第1–9题已按第63–64页照片重构并校对，答案速查可展开核对。

答案速查（先独立完成再展开）

题号	答案	关键一步
1	D	末位按 2、4、8、6 四个一循环；2024 是 4 的倍数，末位是 6
2	A	分子 m 个 2 相乘是 2ᵐ；分母 n 个 3 相加是 3n
3	(100+5n) cm	每年长高 5 cm，n 年共长 5n cm
4	4045/2	f(x)+f(1/x)=1 配成 2022 对，加上中间单独的 f(1)=1/2
5	495	579→396→594→495，之后每次结果都是 495，不再变化
6	（1）86；（2）4374=3×1458；（3）成立	原数=3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d)，两部分都是3的整数倍
7	（1）−(1/4)×(1/5)=−1/4+1/5；（2）−2023/2024	每个中间分母有一正一负相加为0，留下−1与+1/2024
8	概念学习：1/3、−3；深入探究：(1/4)⁴、(−4)⁵、(1/a)ⁿ⁻²；应用：2²⁰²²	第1个不变，后n−1个取倒数；前2个乘成1，剩n−2个因数
9	（1）4225、(6×7)×100+25；（2）(10n+5)²=n(n+1)×100+25，1≤n≤9且n为整数	四块面积完整相加，两条合计100n，再用分配律

逐题讲解入口保留在下方，可按顺序复查每一步理由。

本专题从具体情形中寻找数量关系，再回到图形或运算规则说明理由。表格中的几个例子用于发现和核对猜想，不能单独证明一般成立。第一题先追踪一个新点造成的局部变化；其他题也要按各自条件选择起步动作，不能把“先求相邻差”当作所有题的固定方法。

做题时分清原有量、新增量与经历的变化次数。写出含字母的式子后，检查起点和适用条件；遇到翻倍、折痕连接或相邻幂的差，要说明相应的结构关系。

答案速查（先独立完成再展开）

题号	答案	关键一步
1	(1) 9；(2) 2；(3) 2n+1	内部新增点使1块变3块，或在内部共边上使2块变4块，都净增2；从原有1块起算
2	(1) 4、7、10；(2) 3m+1；(3) 不能；(4) (3n+2)/2（n为正偶数）	主骨1条只算一次，每条大骨与2条中骨共3条；2023=3×674+1，不能完整分组
3	(1) m+n+6；(2)① 12、16；② 14n+234	居中第 3 排起每排 m+4，3(m+4)=39 得 m=9；16 排分三段求和
4	【再现】64根；【应用】约37层楼；【探究】平行折痕剪透33张，垂直剪透2张	翻倍先数操作次数；厚度先换成米；原图未画剪口方向，平行剪法在原纸上对应32条不同剪口，得33张
5	(1) 2²⁰²³；(2) 2ⁿ⁺¹−2ⁿ=2ⁿ（n为正整数）；(3) 2¹⁰¹−2；(4) (3²⁰²⁵−3)/2	每项等值改写后，核对相同幂的一加一减；最初负项与最后正项留下，换底数3要把整个差除以2

五道题均有独立讲解、分步语音演示与理解检查。图形计数、折叠与式子的配对各按所需关系呈现，见本专题卡片下方的“逐题讲解”入口。

本专题复习第三章整式及其加减。第1–7题涉及概念判断、合并同类项、整体代入、棋子计数、整式计算、平方等式规律与化简求值；第8–12题涉及面积、铺砖费用、知识结构、“关于1的平衡数”及数轴线段关系。

概念题先确定在问哪个定义；计算题先逐项去括号、合并同类项，要求求值时再代入；规律题先指认变化的对象，再解释一般关系。

校对进度：第1–12题已按第67–68页照片完成重构；题干、图示、讲解与答案已逐题核对。

答案速查（先独立完成再展开）

题号	答案	关键一步
1	B	2a³b 次数 3+1＝4；A 系数是 −3π、C 第三项是 −1、D 是二次
2	C	同类项系数相减 1−2＝−1，字母 x²y 原样带回
3	−16	先得2x²−3x=5，再写成−3(2x²−3x)−1，得−15−1
4	(4n+1)枚	中心1枚，四条斜臂各n枚；也可写5+4(n−1)
5	（1）−(3/2)a+(3/2)b；（2）3x+3y；（3）−2x²+7xy−24；（4）3x²y−7xy²	外面的数乘每一项（含常数）；x²y与xy²不能合并
6	（1）4×6+1=5²；（2）(n−1)(n+1)+1=n²	序号与平方底数相同；拆下一列，加1格补成完整新行；n=1单独核对
7	x²+3x；代x=1得4	−3乘到三项，常数−4+6−2=0；化简后再代入
8	S=ab−3πb²/8；代a=5、b=2得10−3π/2（cm²）	左半圆半径b/2，右1/4圆半径b；空白1/8+1/4=3/8
9	面积（14x+7y−2）m²；代x=4、y=3得75m²，费用6000元	沿客厅底边分上下；上方补入1×2，最后减回；总费用=75×80
10	开放题：整理第三章知识结构，并与同伴交流，画法无唯一答案	参考按表示、认识、计算、应用分组；连线写理由，用例子或变条件核对
11	（1）−2，x−1；（2）不是	缺一个数用2减已知数；a=−x²−3x+4，b=3x+x²+2，相加得6≠2
12	（1）AC=5m−6；（2）BC=4；（3）正确，值为8	原图C＜B＜0＜A，m＞3；AB=3m−2=10，得m=4；2AB−3BC的m项相消

逐题讲解入口保留在下方；先独立完成，再按需要展开答案或进入对应讲解。

第1–11题的原题、核心讲解、图解、有声动画与条件变化自测已按第69–70页照片重构并校对。第1–9题及第11题的裂项讲解已有配套真题；第10、11题的直线分平面知识点真题仍待核实，暂缓收录。

先分清三种线的端点，再按题目中的实际点名画图。

已复核题目的答案速查（先独立完成再展开）

题号	答案	关键一步
1	C	射线OB以O为端点，射线BO以B为端点；线段AB与BA相同，但两种延长操作不同
2	B	C在线段AB外，仍在直线AB上；A、B、C共线，直线AB与AC是同一条
3	1个	前三幅用两个不同位置定直线；河道改直比较同一对端点间的路程，用线段最短
4	1、3、6、AC	线段按无序端点对；射线按已标端点和方向，同一射线的不同名字不重复计数
5	1个、2个或3个	先保留P；经过P不新增，平行一条新增1个，其余新增2个；接近不能当成恰好满足
6	③	原图AD越过D：直线1条、射线8条、线段6条；BC与CD端点不同，延长仍包含线段AD
7	见完整成图	按语句累计保留AB、BD、BC、AC与E；先连AD本段，再从A端远离D反向延长
8	（1）20种；（2）11	先列10对；去回票分方向。交点最多10个、最少全共点1个，m＋n＝11
9	固定两端，沿线量20＋5米	同一把尺零刻度移到20米，仍沿原方向量5米；两端都栽的方案为6棵
10	（1）分类讨论；（2）4、6或7部分	先按平行与共点关系列全四类；新线每经过一个旧区域，该区域多1块
11	（1）4、7、11；（2）(n²＋3n＋4)/2；（3）n/(n＋2)	下标n对应n＋1条线；每项拆成2倍相邻分数之差，括号内保留＋1/2与−1/(n＋2)

第1–11题的原题、讲解、图示、有声动画与条件变化自测已按原页照片逐题重构并校对，配有已核验的2022年湖北十堰第4题、广西桂林第12题、2024年安徽第1题、北京第7题与江苏苏州第21题。第11题保留印刷条件允许的两个速度，并核对各自的停止位置；绝对值与中点已有基础真题回查，动点综合真题尚待核实，暂缓收录。

先分清要解释的作用：确定直线的位置，找两个不同点；比较路线长短，固定同一对端点。

答案速查（先独立完成再展开）

题号	答案	关键一步
1	C（②④）	②架电线与④公路改直在比较同端点路线的长短；①③在确定直线的位置
2	B	C在线段AB上，两小段之和本来就等于AB；2＋8＝10但不平分，A、C、D则都能推出两段相等
3	CD＝5	圆规给CE＝AC、DF＝BD；重合使CD＝AC＋BD，所以AB＝2CD；重合处未必平分CD
4	MN＝5 cm	从B左右各量4；中间MC＋CN＝3＋2，外侧MC−NC＝7−2，都为AB的一半
5	PQ＝6 cm或2 cm	原题为直线AC；P、Q在B两侧用2＋4，同侧用4−2；第二种A与Q重合
6	AC＝2m＋n；若n≤2m，另有2m−n	①顺次给AB＝2m；②只要求C在射线AM上，检查B两侧交点，越过A的左交点舍去
7	按三问作图，AC′＝AC	射线AB从A经过B；两条完整直线交于O；以A为圆心保持AC张口截取C′，原点不动
8	6条；AC＞BD；MN＝18	端点对按3＋2＋1登记；两条都加BC；两端取半合计2，中间16完整保留
9	BE＝8 cm	CA经过A继续延长，以A为圆心取AC截D；AB已有一段，再接两段，BE＝2AB＝2AC＝CD
10	AM＝4 cm或8 cm	从B两侧各找距B为4的C，AC为12−4或12＋4，再取半；外侧图点序A—M—B—C
11	a＝−2，b＝1，c＝7；v＝16或48/7；第三问比值2	两个条件时刻均早于各自停止时刻；16这一支未进OB，48/7支实际只走到P＝5/8

本专题涉及角的表示、度量、方位与运算。不同问题要按自己的条件选择起手式；第1题先沿弧线找两条边，不能把所有题都套成“画罗盘”或“作减法”。

校对进度：第1–10题已按第73–74页照片重构并核对。第1题分开保留四幅原图，认清∠1的两条边，用添点和添新射线检查条件变化；同知识点的近五年中考原卷题尚未核实，暂缓收录。第2题从OA两侧各量70°，核对两解及方向名称，配有已核验的2024年河南第3题。第3题固定同一幅图逐对登记，排除平角得到9个，并用擦去OD和同向添点检查迁移；同知识点的近五年中考原卷题尚未核实，暂缓收录。第4题按所求区分混合写法与单一单位，精确换算并反算核对；近五年中考原卷配套尚未核实，暂缓收录。第5题按同一观测点核对南北基准，把35°、90°、40°首尾相接得到165°，并纠正两个10°应得160°的变式；配套复用已核验的2024年河南第3题。第6题沿原图先用直角补出∠BOC，再从平角中求∠2，纠正旧图点名和旧独立解法；配套复用已核验的2024年北京第2题。第7题按图中实际基准报告方向，统一图距与实际距离，纠正OP坐标和1∶200的单位错误；方位角配套复用已核验的2024年河南第3题，比例尺直接真题保持未核实。第8题按相同经过时间演示两针匀速转动，分开累计转角、终点方位与较小夹角，用整圈归位和换起点检查迁移；近五年钟面原卷配套尚未核实，暂缓收录。第9题先选合法角完成一个可能值，再用精确边界与一般构造说明完整范围；纠正旧旁白“和超过270°”及除数变化方向的错误，近五年直接原卷配套尚未核实。第10题恢复原图顶点A与B、C、D、E、F点名，按不同射线配对数出3、6、10，纠正旧旁白漏掉原有1个角的错误，并以重复登记除以2解释一般公式；近五年直接原卷配套尚未核实。十题均有完整讲解与有声演示。

已复核题目的答案速查（先独立完成再展开）

题号	答案	关键一步
1	A	先沿弧线1找两条边；只有A图能让∠O唯一指认。已有边上添点不增加方向，新射线才增加别的角
2	D	OA两侧各量70°，得到北偏西40°或南偏东80°；后者也可写东偏南10°
3	9个	固定一条边，只配后面的边；10对排除∠EOA这1个平角
4	1°25′48″；87′，1.45°	混合写法保留整数、只换余数；单一单位换算整个量，用同一单位反算核对
5	165°	先按南、北两个起点标出PA、PB；西到PB为90°−50°＝40°，再加35°＋90°＋40°
6	118°	先用90°−28°求∠BOC＝62°，再用180°−62°求∠2；两次相减对应两个整角
7	商场500 m；停车场800 m	第一问同时报方向和图距，OC＝4÷2＝2 cm；学校2 cm对应400 m，每厘米表示200 m，比例尺1∶20000
8	（1）360，60，6，0.5；（2）180°与15°；（3）90°	先把时间统一成分钟；一周度数除以所需时间求速度，再区分累计转角和某个时刻的夹角
9	例如45°；完整范围大于30°且小于60°	取60°、90°、120°先核类别再算；一般构造说明范围内每个值可实现，两个边界取不到
10	3、6、10；(n＋1)(n＋2)/2	内部n条加上两条外边；每对不同射线确定一个角，原有大角不能漏，同向点名不增加角

这一课时把角算明白：先用三角尺上的现成角当“标准”比大小，再判定角平分线的条件，然后是三角尺搭角、双平分线、交叠直角中的角差，中段两道是平角配比例证垂直、折叠搬运角，最后两道拓展一道考分类讨论、一道是旋转三角尺压轴。全课时的通用动作只有三个：把每个角写成“从哪条边量到哪条边”、用直角平角当总账、变化后检查角还在不在正确的范围里。

做题前先圈出题干里的“平分”“垂直”“在……内部”——它们决定该列等式还是该分类（对比第 4 题与第 10 题）。十一题全部配有有声动画：第 1 题看三角尺标准角怎样夹出大小、第 3 题沿公共边认清O处45°与30°、第 8 题看折痕怎样把角原样搬运、第 9 题看两幅图怎样共用直角内的分割关系、第 11 题看三角尺怎样从直线转进 ∠BOC、平分时刻怎样锁定在 10 秒；其余各题同样逐句配画。

答案速查（先独立完成再展开）

题号	答案	关键一步
1	B	∠AOB 张口比 60° 角宽，∠CPD 比 45° 角窄，60°＞45° 夹出大小
2	B	∠AOC＋∠COB＝∠AOB 对内部射线都成立；80°＝20°＋60°，但两部分不等
3	75°	先认O处的角：45°尺给45°、30°–60°尺在O处给30°；沿公共边相加，不能把A与B处的90°和60°相加
4	30°	∠AOD＝∠DOC＝∠COB 三等分 90°
5	＝；＝	公共部分 ∠BOC 同加同减，等式性质
6	52°	先求∠BOD＝128°−90°＝38°，再求∠BOC＝90°−38°＝52°；按图确认两次相减的范围
7	（1）54°；（2）垂直	一份 18° 得 ∠COE＝54°；180°−36°−54°＝90°
8	（1）相等；（2）120°	折叠 ∠FEA＝∠FEA′＋平分 ∠FEA′＝∠A′EB，三份拼平角各 60°
9	（1）24°；（2）70°；（3）a/2	两图OE都在∠COD内，∠DOE＝90°−1/2∠BOC＝1/2∠AOC；图②OD在OB下方
10	10° 或 70°	先求∠BOD40°；OC在OB两侧各偏30°，按射线次序分别求10°、70°
11	（1）①50°；②35°＋α；（2）10 秒	先用直角拆角；平分还要在内部；确定转角后除以速度

第 11 题提示：旋转过程中 ∠MON 永远是 90°、直线供出 180°——先写“从哪条边量到哪条边”，再动笔算。

这一课时围绕一个新本领展开：用圆规和直尺把一个角原样搬到别处（作一个角等于已知角），再用角的和差把它算回来。前五题基础题正着认、反着读：认三段作图痕迹各是谁当圆心谁当半径（第 1 题），由等半径证全等算出翻倍的角（第 2 题），从痕迹读出被复制的角（第 3 题），在直角三角形里追三支弧的接力（第 4 题），两次复制后相邻作出和角（第 5 题）。接下来继续动手作图与检验：直线上方复制角（第 6 题）、从AB连续复制两次α作2α（第 7 题）、以OB为边作等角，再分类求出40°或80°（第 8 题），第 9 题把α与倍角2α接到给定底边b的两端，以两条主射线的交点围成三角形。

遇尺规痕迹，先核对圆心、半径与两交点间距，认出复制角；遇多射线图，再按次序分清相邻和重叠。正式三角形全等作为已学者的选看核验。第 4 题配了有声动画：三支弧怎样保持半径与交点间距、把 A 处的角接到 ∠FCG，再由直角三角形收尾（正式全等选看），拖动滑块还能自己换角度验证 ∠B＝90°−∠FCG。

答案速查（先独立完成再展开）

题号	答案	关键一步
1	D	针尖固定在E，开口取DC；F是两弧交点，M、N是弧的端点
2	D（56°）	OE共边、OD＝OF、ED＝EF；∠EOD＝28°，新D在OA另一侧，两个28°相加
3	35°	AB在∠DAE内部，100°−65°＝35°；相同半径与交点间距把∠DAB复制到B处
4	40°	CF＝CG＝AD＝AE、FG＝DE ⇒ ∠FCG＝∠CAB＝50°；∠B＝90°−50°
5	作图	先作∠AOC＝∠β，再从OC另一侧接∠COB＝∠α；两角相邻、不重叠，保留作图痕迹
6	作图	B处同一半径弧截BC、BA、BD于M、N、P；以P为圆心、MN为半径取CD上方交点E，作BE并保留痕迹
7	作图	给角α取距一次，从B得D，再从D避开旧B取新C；两块相邻α合成∠CAB＝2∠α
8	（1）作图；（2）40°或80°	题面未限定OC内外；角外60°＋20°，角内60°−20°，两种位置都符合BOC＝α
9	作图	以b为AB，A端作α、B端在同侧作2α，两主射线交C；AB是两给角的夹边

第 4 题动画提示：拖动 ∠FCG 滑块时盯住 ∠B 的读数——两角之和始终是 90°，这就是“复制不改变大小、直角三角形两锐角互余”的现场演示。

这一节把视角从“线与角”拉远到整块图形：多边形看顶点计数，圆面积看份额与相减关系。前四题围绕多边形的三件套——过一个顶点的对角线 n−3、切出的三角形 n−2、整套对角线 n(n−3)÷2——正着用（第 1、2 题）、反着用（第 3 题）、再放进五句话里辨真伪（第 4 题）。圆这边分清两种面积关系：扇形占圆的几分之几（第 5 题）、按比把 360° 分给三个扇形（第 7 题），都用圆心角的份额；第 6 题的阴影是两层正方形之间的L形，用圆环与阴影共享的R²−r²，不能套四分之三圆环。第 8、12 题在图示可作内部完整分割的情形下，沿原边与三角形对应计数：顶点排除两条邻边得n−2，边内点排除所在一条边得n−1，内部点不排除原边得n；第 9 题动手画图再算账（两条过O的垂直直线在圆内截出两条直径；按π取3.14算阴影）；第 10 题沿主弧连续复制两份α（2α＝76°），再以B为顶点尺规作等角。

第 11 题按原图把圆完整分割，内部连线不再相交：前四图是2、4、6、8个区域。第 11 题配了有声动画，逐条重画弦，再分多边形外n块与内部n−2个三角形，合2n−2。六点按同样连法是10区；少画内部对角线时条件改变，不能只凭点数套公式。不要把原图改成全部点两两连线的另一题。

答案速查（先独立完成再展开）

题号	答案	关键一步
1	A	过一个顶点 n−3＝8−3＝5 条
2	B	切成三角形 n−2＝10−2＝8 个
3	27	n−3＝6 ⇒ 九边形；9×6÷2＝27
4	③⑤	①少“相等的”；②线段的长度才叫距离；④方向数不等于点数
5	12	45°占 1/8，圆面积 144π，r²＝144
6	8/π	圆环＝π(R²−r²)＝8；阴影是两正方形的面积差R²−r²
7	240°	360°÷9 份＝40°，最大 6 份
8	4 个	原边AB含O不作底边，余BC/CD/DE/EA各一块；同型内部完整分割n−1个
9（4）	4.56 cm²（π取3.14）	圆12.56；四个底高均2的三角形合8；阴影12.56−8
10（1）	76°	主弧同开口连续截两次，∠AOB＝α＋α
10（2）	作图	A/B同半径；G处开口EF截P；作射线BP
11	2n−2（按图完整分割）	外n块＋内n−2个三角形；无内部交叉，六点10区
12	4、5、6；n−2、n−1、n	原边各对应一块，排除经过起点的2/1/0条；内部第一段不分区

这一章的复习卷把两类工具考了个遍：线族的中点（半段、份数）与角族的平分线（半角、夹角）。前八题基础题每题一两件工具：先由平分平角得90°，再按两个整体补中间角（第1题），剪一刀数边数（第 2 题），两条平分线的夹角同侧减异侧加（第 3 题），重叠直角扣去共同部分，再在一个90°内拼角（第4题），折痕平分翻折角（第 5 题），同线双中点半和半差（第 6 题），半角等推整角等（第 7 题），直角配两条平分线，OC在两侧都得到45°（第 8 题）。第 9 题把两级中点串成 3/4 份的长链；第 10 题整理全章知识结构，并与同伴交流；压轴的第 11 题动起手来——两个点同向赛跑，倍数关系却纹丝不动，第三问还要在直线上分区找一个神秘的 Q 点。

先判断题里要追踪什么：中点对应线段分份，平分线对应半角，剪角看旧边是否整条消失，动点看位置怎样变化。关系确定后再选择计算、分类或列式，不把一句口诀套到全卷。第 11 题配了有声动画：拖动时间与AP，看PN＝3AM怎样成立，并区分终点的等式与商。

答案速查（先独立完成再展开）

题号	答案	关键一步
1	B（25°）	先补BOC：DOB90°−COD25°＝65°；再AOC90°−BOC65°＝25°
2	按通常凸多边形直剪角约定，A（六边形）	原边数−整条消失旧边数＋1；六边形至少剩5边，三、四、五边形都有剩4边的剪法；凹图另判
3	15° 或 35°	∠AOM＝10°、∠AON＝25°；同侧相减、异侧相加
4	90°−α−β	原图正方形重叠；先由两直角扣共同角得中间角＝β，再α＋β＋∠3＝90°
5	39°	AE两侧等角；90°里有5份∠BAD′和两处15°，每份12°，所求2份＋15°＝39°
6	1.6 cm 或 4 cm	从共同端点C分同侧、异侧；中点给出2.8和1.2，同侧相减、异侧相加
7	（1）∠ABC＝∠ACB（2）40°	两处平分与∠DBC＝∠ECB相接，两个整角各取两份相等小角；70°＋70°＋40°＝180°
8	（1）内30°、外150°；（2）（3）均45°	原题未限定OC在内部；内图30°＋15°，外图75°−30°，一般α也分别相加或相减
9	AC＝16 cm（常规八空：AD、BD、AB、AD、DE、AB、AB、1/3）	AE＝3DE＝18，DE＝6；BD＝3CD＝12，CD＝4；两轮份长不同
10	开放题（参考结构可调整）	对照全章范围列知识，连接写清条件与依据，再与同伴交流；不固定层级或例子数
11	（1）3 cm（2）AP不变，仍为3 cm（3）6 cm 或 12 cm	PN与已走路程都为3倍，分别补回得PB＝3AP；Q在直线上分区，核对边界得两解

这一课时认识方程的三副面孔：判断——一元一次方程先检查原式是整式方程，再看整理后只有一种未知数、最高次数为1（第 1、3 题）；解——使方程两边相等的值才叫解（根），验解的动作永远是代回去、算两边、比结果（第 2、4、7 题）；列——从题目里找同一个量的两种算法，画上等号就是方程：莲蓬题的“付出 50 元”、古算诗的“竹竿总数”、旧书题的“绿植盆数”、充电题的“目标电量”、分组题的“班级人数”，全是这一个动作（第 5、6、8、10、12 题）。

做题前先圈出题眼：判方程题圈“元、次、分母”；验解题圈“解/根是……”；列方程题圈两个指向同一个量的短语。第10题的有声二维演示用满格100份说明恒速充电和三问分别从20%开始。第 11 题配了有声动画：看天平两次平衡怎样各读出一个式子，又怎样在“一个纸杯的质量”上会师成一个方程。

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题号	答案	关键一步
1	B	一元＋一次＋整式三关；A中x²次数2、C有x与y、D分母含x；B写成x−3＝0
2	B	代入x＝−1得−m−n＝0，因此n＝−m；m≠0保留，D只是有时成立
3	m＝3	整个指数m−2＝1，两边加2得m＝3；系数3≠0，代回3x＋5＝8
4	m＝1	完整代入(−1)²−m＝0；底数含负号，(−1)²＝1；一个根不等于唯一
5	8x＋38＝50	x为单价，8x为总价；50分成总价与找回38；8x＝50−38亦可
6	6x＋14＝8x	x人先共分6x竿，还剩14；原有总数＝分出＋剩下；每人8竿恰好分完
7	是解；第（2）问为开放发现	两处x都代4，左边12＝右边12；对应两处4与同一个x，发现不要求逐字照抄
8	2x＋3(x＋2)＝36	种子x包、绿植x＋2盆；各乘兑换率后，同按旧书本数相加
9	开放题，无唯一答案	先明所求再配条件，设清x或y并代回；示例12岁是假设，不代表自己的年龄
10	（1）20＋1.6x＝80；（2）30 min 只到 68%，不对；（3）20＋1.6t＝85	按满格100份：每分钟新增8÷5＝1.6份；初始＋新充＝目标
11	（1）4x＋10；3x－10。（2）x＝4 克，纸杯 2 克	(4x＋10)/13＝3x－10；两条记录回代都平
12	（1）5x＋7＝7x－9；（2）(y－7)/5＝(y＋9)/7	按每社区1组，分别比较全班人数与社区数；先定所求量，再处理余缺

第 4 题最容易在 (－1)² 的符号上翻车；第 12 题两种设法可以互相验账（x＝8 个社区、y＝47 人）。

这一课时给“解方程”装上发动机：等式的性质 1（两边同加减同一个数）负责挪——把和未知数挤在一起的数挪走；性质 2（两边同乘、同除以同一个数）负责缩——把系数变成 1。第 8 题的四道方程就是“先挪后缩”的完整练习。性质 2 还藏着半句小字：除数不能是 0——第 4 题查 c−2，第 7 题的小明恰好除以了 0，第 10 题把这条前提放到字母 a 上讨论。第 3、11 题则是另一件本事：不解出未知数，把公共的整式块当数用。

做题前先认每道题检查的是哪条：第 1、2 题辨变形正误，第 5、6 题把“方程的解”和“新符号”翻译回普通运算，第 9 题把“正好换 2 瓶用完”折成等式。第 7 题配了有声动画：看小明第③步“两边同除以 x”怎样踩空，再走一遍正确的两步。

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题号	答案	关键一步
1	D	两边同减 a 右端应是 n−a；n+b=n−a ⟹ b=−a ⟹ a+b=0
2	C	同乘任意数都成立；A 减错对象、B 缺 a≠0、D 交叉相乘只得 bc=ad
3	1	2a+b=2b+1 两边同减 b 得 2a=b+1，再同减 b 得 2a−b=1
4	c≠2	两边同除以 c−2 须 c−2≠0
5	a=3	x=−2 代入看错后的 5a+x=13：5a=15
6	x=−1	定义翻译：2x−4×(−3)=2x+12=10 ⟹ 2x=−2
7	（1）性质1；（2）③，x=0 不能作除数；（3）x=0	两边同减 x：0=2x；同除以 2；检验两边都 −5
8	（1）−13；（2）5；（3）−27；（4）−5	先性质1挪常数与 x 项，再性质2除系数（除数均非零）
9	9 个章	正好换 2 瓶 ⟹ x+1=2×5=10 ⟹ x=9
10	正向不一定（需 a≠−3）；反向一定	除法查零：a+3 可能为 0；分数线自带 a+3≠0，乘回安全
11	−1	两边加 8 除以 5：x²+3x=1；2(x²+3x)−3=−1

第 7 题第（2）问答“除数为零”要带上依据：由 x=3x 可得 x=0；第 10 题两个方向一除一乘，结论正好相反，别答成“都不行”。

这一课时的主角只有一个动作：移项——跨过等号，改变符号。第 1 题专考移项后的样子；第 7 题四道小方程把“移项、合并、系数化一”跑成流水线；第 3、6 题是把中文条件（“互为相反数”、新运算）翻译成方程，第 2 题反过来由已知解倒求被墨水盖住的系数。两道跨学科点缀：第 4 题把方程搬进展开图——阶梯形六格折成正方体，相对面上的数相等，配好三对对面，两个式子一相加 a 就抵消（配了有声折叠动画）；第 5 题洛书幻方，先从三数齐全的第一列定幻和 18，x 应声而出。第 8 题树苗盈亏是“同一个总量两种算法画等号”，第 9 题步数递推顺着已知一环环算。拓展两题朝两头走：第 10 题“无数个解”＝让 x 消失（系数与常数同时归零），第 11 题 [ ] 取整接力——负小数要向左退一格，[－2.5] 是 －3 不是 －2。

全课通用口诀：移项过等号必变号；同一个量写两遍就能画等号；两式相加，同加同减的字母自己消失。

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题号	答案	关键一步
1	C	＋2x 过等号变 －2x、＋6 变 －6：3x－2x＝－6－8
2	A（●＝－2）	代 x＝－3：－3●－3＝3 ⇒ －3●＝6
3	x＝1	(x＋2)＋(2x－5)＝0 ⇒ 3x－3＝0
4	x＋y＝6	对面 x－a↔1、5↔y＋a、2↔2；两式相加 a 抵消
5	x＝10	第一列 5＋4＋9＝18 定幻和；5＋x＋3＝18
6	A（n＝－10）	2★n＝2n＋2－n＝n＋2＝－8
7	(1) x＝4 (2) m＝－5 (3) x＝－5 (4) x＝5	移项→合并→系数化一；(2)(4) 分数系数乘倒数
8	303 棵	6x＋15＝7x－33 ⇒ x＝48 人；6×48＋15
9	11 500 步	深周一 14 000 → 圳周一 12 000 → 圳周二 11 500
10	a＝3/2，b＝2	(2a－3)x＝b－2 无数解 ⇔ 0＝0
11	m＝1，n＝2，[m－(7/4)n]＝－3	－2m＋3m＋6＝7；4＋n＝10－2n；[－5/2] 向左取整

去括号是解方程的第三件工具（前面两件是等式的性质和移项）。它只有一句口诀：括号前面是负号，去掉括号全变号。第 1 题的四个选项就是这句话的四种“执行结果”；第 2 题的小明偏偏忘了给第二项变号，要从他的错误答案倒推出字母的值，再回头解出正确的解。第 7 题四道小题把“去括号—移项—系数化 1”的完整流程各埋了一个坑（第 (4) 小题还带着分数）。

列方程的题也全在用括号：第 3 题两根等长铁丝围五边形和六边形，周长相等一步就写出 5(x+3)=6x；第 4 题两位数对调，“十位数字与个位数字”打包成 10a+2a；第 8 题电影票按儿童、成人分账。第 5 题“平安方程”给了新定义，先按定义验一遍例子再套用；第 6 题是程序框图：顺着走一遍、再倒着走回去，两条路各送回一个答案——这题配了有声动画。第 9 题最特别：按原数列方程会解出负数，这一课就停在“检验发现矛盾”上。拓展题里，第 10 题的字母 k 要讨论，第 11 题的饮水机不用知道杯子的容量也能算出时间。

答案速查（先独立完成再展开）

题号	答案	关键一步
1	B	3−4(x+2)＝3−4x−8：−4 要乘到括号里每一项，两项都变号
2	C（x=6）	错解 x=−2 代入未变号的 3x−x−2a=4 得 a=−4；正确方程 3x−(x+8)=4
3	5(x+3)=6x	铁丝等长 ⟹ 周长相等；五边形边长 x+3，六边形边长 x
4	24	十位 a、个位 2a：对调 21a−原数 12a=9a=18 ⟹ a=2
5	−25/4	5x=m 的解 x=m/5，平安条件 x=a+b=5+m
6	1 或 4	逆推：除以 2 一路得 4（偶✓）；加 1 一路得 1（奇✓），都要
7	−19/2；37/9；4/3；8	(1)(3) 括号前是正也要分配；(2) 右边去括号后注意 −4×(−3)=+12；(4) 先两边乘 2 去分母
8	8 人	35c+45(20−c)=820 ⟹ 900−10c=820
9	按原题数字无解	0.8·pn=558 得 pn=697.5，第二天 p(n+2) 至少 697.5＞648，矛盾 ⟹ 数字疑有印误
10	(1) x=1；(2) k=2	化成 (k+2)x=4；整数解 ⟹ k+2 整除 4 且 k 正 ⟹ k+2=4
11	24 秒	设开水时间 t，温水 t−12 且速度是 2 倍 ⟹ t=2(t−12)

第 2 题注意“错误的解”是给来用的条件，不是垃圾信息；第 6 题两个答案缺一不可；第 9 题的讲解按“列方程—解出矛盾—判断数字有误”走，这正是检验的意义。

这一课时给解方程装上最后一件主力工具：去分母。它是等式的性质 2 的应用——两边同乘最简公分母（第 1 题里 3 和 6 选 6），乘的时候每一项都要到场：整数项最容易漏（第 1 题选项 A、第 8 题的 10 和 −5 都在考这个），分子在负号后面还要先穿“括号外衣”（选项 B 栽在这里，选项 D 则丢了系数 2）。分母是小数时先用分数的基本性质化整（第 2 题：分子分母同乘 10，右边的 1 不动）——两套性质各管各的，别串门。第 6 题三连练把四步口诀（去分母、去括号、移项、系数化 1）的坑各埋了一个。

这一页还有一组“倒着走”的题：解本身就是条件——第 5 题的“解互为倒数”、第 7 题的“解是 −2”、第 9 题的“小华求得的解为 x=2”，都是把解代回去用；第 9 题更进一层，要先把小华的错路原样还原再代入；第 10 题“同解方程”是新定义，翻译回“解相等”就是熟题。第 1 题配了有声动画：看“每一项都乘 6”怎么落到位、四个选项各错在哪一步，再自己动手当阅卷人。

答案速查（先独立完成再展开）

题号	答案	关键一步
1	C	每项都乘 6：2×6=12；整数项不豁免；(x−7) 带负号加括号
2	C	分数基本性质：分子分母同乘 10，右边 1 不动；(10x+20)/3−(3x−10)/5=1
3	m=4/3	“大 1” ⟹ (m+2)/5−(m−2)/2=1，×10 得 2(m+2)−5(m−2)=10
4	G₂=700 N	公式先变形：G₂=Fn−G₁=500×2−300
5	m=−3/5	(x+1)/2=3x−2 解得 x=1，倒数还是 1；代入第一个方程
6	（1）x=−6（2）x=−1/5（3）x=10	（3）先化整 (4x+30)/2−(10x−1)/3=2 再 ×6；整数项都要乘
7	△=5	代 x=−2：(1−2△)/3=−3 ⟹ 1−2△=−9
8	x=180	x/3+10+x/4−5=110，×12：4x+120+3x−60=1320
9	（1）a=1/3（2）x=−3	错方程 2(2x−1)=3(x+a)−1 代 x=2；正确去分母右边 −1 也要乘 6
10	（1）k=11（2）m=2	（1）x=7 代入 4x+5=3k；（2）x=2m−4 与 x=6−3m 相等

第 1 题别只挑出 C 就收工：A、B、D 各错在哪一步，能说出理由才算真懂。第 9 题先还原“他实际解的方程”，别急着写正确解法——(1) 问的 a 只藏在错路里。

这一课时练的是应用题的心脏：找到那个不变的量，等量关系就自己浮出来。第 1、6、8 题是“体积不变”——同一堆水、同一杯奶茶、同一瓶水加空气，换个容器姿态，体积纹丝不动；第 2 题是“总长被铺满”；第 3 题把“比”翻译成份数；第 4 题让每一行拼图各报一个方程；第 5 题用两次实验给大小球“定价”；第 7 题数量账、金额账两本账同时平；第 9 题最贴近生活——终身免费额度只有一桶，用掉一点就少一点。

做题前先问自己一句：这道题里什么没变？体积、总长、总钱数还是额度？答案往往就是列方程的那条等量关系。第 9 题配了有声动画：看额度条怎样被一笔一笔吃掉，再从手续费把三笔提现金额倒推回来。

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题号	答案	关键一步
1	A	水量不变：π(8/2)²x = π(6/2)²(x+5)；细杯水深是 x+5（水面距杯口 5）
2	(a−12)/5 cm	4×3＋5x＝a：4 个孔占 12，空白共 5 段（孔间 3 段＋两端）
3	24 cm²	设一份 t：2(3t＋2t)＝20 ⟹ t＝2 ⟹ 长 6 宽 4
4	24 cm²	上行 2 横放 2a＝12 ⟹ a＝6；中行 3 竖放 3b＝12 ⟹ b＝4；6×4
5	大球 8 个	每小球抬 2 cm、每大球抬 3 cm：3x＋2(15−x)＝38 ⟹ x＝8
6	9 cm	体积不变（π 取 3）：3×4²×12＝8×8×h ⟹ 64h＝576
7	（1）足球 4、排球 8；（2）m＝8	（1）80x＋40(12−x)＝640；（2）m＋2y＝12 且 40m＋140y＝600 ⟹ m＝8（排 8 足 2 篮 2）
8	A（90 cm³）	容积＝水＋空气＝10×4＋10×5；倒放让空气变规则的圆柱段
9	（1）2.8 元；（2）①1400 元；②400 元	终身免额只此一份：0.9＋1.9；1.4÷0.1%＝1400；0 与 1.2 反推 400/1800，差恰 1400

第 7 题第（2）问别漏了“三种共 12 个”的数量账，只列金额账会多出一个解；第 9 题的王阿姨例子（第二次 800 元仍收 0.8 元）是理解“终身”二字的钥匙。

这一课时的九道题，全是把生活语言翻译成等式的练习。开头的两道古代算题（住客房、粟换酒）说的是同一个本事：同一批东西用两种算法数，中间画等号。中段的购物题给足“折上折”“多算退钱”的花样，关键是分清每个百分数、每个折扣作用在哪个基数上——第 6 题“提高 20%再打八折”连乘出来是 ×0.96，并没有回到原价。第 5 题的快递费是分段计费：起步价管住头 1 千克，超出的才按千克另算。第 7 题把三问串成一条链：个数→利润→折扣，前一问的答案就是后一问的条件，配有声动画演示全链。第 8 题考分类讨论：只知道实付 288 元，原价可能是 288、也可能是 320，两种都要算。第 9 题沿“进价→标价→折后价”走完销售全过程。

做题前先认每道题的等量关系藏在哪里：第 1、2 题在“总量不变”，第 3 题在“退的钱=多算的钱”，第 4 题在“共省 280 元”，第 5 题在“分段计费公式”，第 6 题在“两店差价 1 元”，第 7、9 题在“利润=售价−进价”，第 8 题在“门槛两边的两种原价”。

答案速查（先独立完成再展开）

题号	答案	关键一步
1	D	客人总数两种算法：7x+7=9(x−1)；x=8，客 63 人
2	A	粟全花完：8x+2(4−x)=20；清酒 2 斗、醐酒 2 斗
3	10 元	2 根棒棒糖=6 元→棒棒糖 3 元；2x+8×3=44→x=10
4	九折	实付 720 元÷八折价 800 元=0.9
5	a=9，b=3	a=7+2×(2−1)；10+6(b−1)=22
6	说法不对，原价 50 元	乙=1.2×0.8x=0.96x＜甲=0.98x，乙便宜 0.02x=1→x=50
7	（1）35 个、65 个；（2）2 650 元；（3）九折	60x+70(100−x)=6650；利润=售价−进价；105×(8n−60)=1260
8	C（18 元或 46.8 元）	288 元的原价有 288 与 320（=288÷0.9）两种，各算合并九折
9	（x+40）；10x+8(x+40)=1400；60 元与 100 元；八折	18x=1080；160×n/10−100=28→n=8

第 6 题要说明方向：乙店不是“多花 1 元”而是便宜 1 元（0.96x 比 0.98x 小）；第 8 题两个答案都成立，漏掉任一种都拿不到分。