第6题 · 圆环与L形阴影，共用同一个平方差
原图的灰色是大小两个正方形之间的L形，不是四分之三圆环。大圆半径R、小圆半径r也分别是两正方形边长；圆环π(R²−r²)=8，阴影R²−r²=8/π。用取出小圆片、小正方形的分步演示比较两个面积差。
题目
如图 4-3-1，两个同心圆，圆环的面积是 8，则阴影部分的面积是________。（结果保留 π）
答案：阴影面积为8/π。关键是认清灰色边界：它是两层正方形之间的L形，不是圆环剩下的四分之三。
以下按原图两层正方形框的通常图示理解。把大圆半径记为大写R，小圆半径记为小写r，R＞r＞0；O是两圆共同的圆心。R和r是两个不同的量，不能忽略大小写。原题没有给半径数值或长度单位，也不需要从画面比例另猜一个半径比。
需要用到正方形面积、圆面积和乘法分配律。π表示圆周率。
先看灰色由哪些边围成
从O出发，大方框的两条邻边都到大圆上，长度均为R；小方框的两条邻边都到小圆上，长度均为r。因此两层正方形的面积分别为R²、r²。
灰色沿大方框的右边和下边延伸，小方框内部没有灰色。它还有一部分落在大圆外。先沿直线边界辨认这块区域，不能因为看到直角就套圆心角份额。
圆环：大圆减去小圆
单独把大圆分成“圆环＋小圆片”。将小圆片移到旁边，只是为了看清被减去的那一部分，移动不改变面积。
两个圆的面积都乘同一个π。根据分配律，作差后这个共同乘数仍可放在外面：
如果这一步不熟，可以先看10×5−10×2＝10×(5−2)。本题把共同乘数10换成π，把5、2换成R²、r²，依据相同，不是照着外观猜比例。
阴影：大正方形减去小正方形
把小正方形移到一旁，留下的恰好就是原图的L形阴影：
现在把阴影面积记作大写S。它就是上一式括号里的R²−r²，因此：
这里的π倍来自两个面积公式，不需要知道R、r各是多少，也无需利用小方框的远角是否恰好落在大圆上。
已知圆环面积8，求阴影
把题目的8代入圆环面积，得到πS＝8。π不为0，两边同除以π：
代回核对：π×(8/π)＝8，正好回到题目给出的圆环面积。
题干给的是8，不能把它改成8π。“结果保留π”在这里也与答案8/π一致。
听讲解，看两次“大减小”
固定讲解使用原题面积8，最后用面积12的同类图示范条件变化。每段结束会暂停，先指出保留的区域和被移出的图形，再主动继续。探索模式可以改变内圆大小、圆环面积，并拖动移出过程；固定讲解的声音会停止。
先解释，再展开核对
检查1：同样的两层正方形结构，如果圆环面积改为16，阴影面积是多少？哪一步关系保留？
展开检查1
仍有圆环＝π×阴影。πS＝16，所以S＝16/π。改变的是已知面积，两个面积共享R²−r²的关系保留。
检查2：如果题目明确把圆环面积改成8π，答案会怎样？这和本题给8相同吗？
展开检查2
这是另一组已知条件。πS＝8π，阴影面积S＝8；本题是πS＝8，答案为8/π，两者不同。
检查3：圆环面积保持8，仅改变内圆大小，且两层方框仍分别为以R、r作边长的正方形。阴影面积会变吗？
展开检查3与适用边界
不变。圆环＝π(R²−r²)始终为8，所以两正方形的差R²−r²始终为8/π。两正方形各自面积可以变化，差保持。
这套理由依赖两层方框的边长分别是R、r。如果条件改成长、宽不同，且不再都等于相应半径的长方形，就不能直接把它们的面积写成R²、r²。先认阴影的实际边界和边长，再选面积关系。
用同一面积差，做一道中考真题
下面的阴影是圆环中的一部分。仍先做大减小，再乘共同的圆心角份额；和本题直接联系的是同一个R²−r²。
2023·四川雅安·第8题
如图，某小区要绿化一扇形OAB空地，准备在小扇形OCD内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得∠AOB＝120°，OA＝15m，OC＝10m，则种草区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
先独立选择，再展开解析
答案B，种草面积为125π/3平方米。
两个扇形共用圆心O和两条边，圆心角相同，均占一圈的120°÷360°＝1/3。外半径OA＝15m，内半径OC＝10m。
先求完整圆环：π×(15²−10²)＝π×(225−100)＝125π平方米。再取其中1/3，得到125π/3平方米。
也可分别算两个扇形：大扇形75π，小扇形100π/3，相减仍是125π/3平方米。
本题直接训练“共同乘数×两个平方的差”；没有要求把扇环误看成正方形。方框题还须先用实际边长确定灰色区域。
试卷原题：2023年四川省雅安市中考数学真题（公开重排卷，首面第8题）。题干、四个选项及A/B/C/D/O图示已逐项核对；图按题意重绘。