第8题 · O在边AB内部，四条底边对应四个三角形

题目

如图 4-3-2，点 O 在五边形 ABCDE 的边 AB 上（点 O 不与 A，B 重合），连接 OC，OD，OE，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？

答案：4个三角形，分别是△OBC、△OCD、△ODE、△OEA。在同样能用内部连线完整分割的n边形中，点O位于一条边的内部时，得到n−1个。

本题O在AB上，并且不与A、B重合。需要知道三角形有三个不共线的顶点；三个点若在同一直线上，围不出有面积的三角形。没有给O为中点，也没有给五边形为正五边形。

四条原边，逐一对应四块

1. △OBC，底边BC
2. △OCD，底边CD
3. △ODE，底边DE
4. △OEA，底边EA

沿B→C→D→E→A走一遍：

• BC与O围成△OBC；
• CD与O围成△OCD；
• DE与O围成△ODE；
• EA与O围成△OEA。

每一条底边只用一次，四块内部不重叠，合起来铺满原五边形。OC、OD、OE是3条新连线；切出的三角形却是4块。连线条数和三角形个数不能混为同一个数。

AB为什么不能算成第五条底边

AB本来就是五边形的一条边，点O落在它的内部。OA、OB沿同一条直线，它们与AB围不出有面积的△OAB。

因此这里数的是不经过O的原边，不是说五边形只剩四条边。五条原边里排除AB，得到4条底边、4块三角形。

怎样推到n边形

原多边形有n条边。O在其中一条边的内部时：

1. 这条边经过O，不能与O围成三角形。
2. 其余n−1条原边，各与O围成一块。
3. 这些块不重叠、无空隙地铺满多边形，所以共有n−1块。

$$\text{三角形个数}=n-1.$$

本题图形没有凹进去的角，连线都在图形内部，只在O相遇；凸多边形满足这样的分割条件。原题没有另印“凸”字，推广时必须保留能在内部完整分割的条件。若图形有凹处，不能不检查连线是否跑到图外就套n−1。

O更靠近A，数量会变吗

下图把O放得更靠近A，但仍不与A重合。

1. △OBC，底边BC
2. △OCD，底边CD
3. △ODE，底边DE
4. △OEA，底边EA

仍有BC、CD、DE、EA四条底边，每条与O围成一块，所以仍是4块。△OEA虽然变窄，三个顶点仍不共线，它依然是三角形。

决定个数的是O属于哪些原边，不是O离中心有多近。

先判断，再展开核对

检查1：若改变条件，让O真正与A重合，四块中哪一块不再是三角形？还剩几块？这是否仍是原题允许的情形？

展开重合位置核对

△OEA变成A、E、A三个点，围不出面积，不再是一块三角形。其余三块可按A重新点名为△ABC、△ACD、△ADE。

1. △ABC，底边BC
2. △ACD，底边CD
3. △ADE，底边DE

这时相当于从顶点A出发，经过A的AB、AE两条原边都不能作底边，剩5−2＝3块。原题明确O不与A/B重合，所以这是改变条件后的比较。

检查2：若把五边形换成六边形，O仍在一条边的内部，其余分割条件保持。为什么得到5块，而不是数新增连线得到4块？

展开底边与连线核对

六条原边只有包含O的一条不能作底边，剩6−1＝5条底边、5块三角形。O到该边以外四个顶点的新连线是4条，这个数不等于三角形个数。

留下这个动作：先定位O → 找包含O的原边 → 数其余可作底边的边 → 逐边对应三角形。同一个顶点起步会排除两条邻边；边内部点只排除一条。无需按O到中心的距离判断。

用边上一点分割法做一道中考题

2023·江苏宿迁·第13题

七边形的内角和是________。

这道题另需已经学过“三角形内角和180°”。还没学时，先完成上面数块的主线；下面是选学应用。原卷没有给图，解析图中的A至G与O为新增点名。

已学三角形内角和后，展开解析

1. △OBC，底边BC
2. △OCD，底边CD
3. △ODE，底边DE
4. △OEF，底边EF
5. △OFG，底边FG
6. △OGA，底边GA

答案900°。在七边形一条边AB内部取O，可以按本题的方法分成7−1＝6个三角形，六块的所有角合起来为6×180°＝1080°。

其中A至G处的角合成原七边形的七个内角；O处的角合起来是沿AB的一平角180°，它不是原七个顶角之一，必须减去。

$$6\times180^\circ-180^\circ=900^\circ.$$

核对：换成第2题从一个顶点分的方法，有7−2＝5块三角形，5×180°＝900°。两种分法计数不同，算原多边形内角和时得到同一结果。

试卷原题：2023年江苏省宿迁市中考数学原卷第13题。题干按已核验原卷保留，原卷无图、无选项；这里用本课边点分割法作解析示意。