第4题 · 判断五句话：条件、长度与点数
①分成两角还须相等；②距离是线段的长度，CD=3cm是常用长度简写；③线段最短；④方向数不等于无穷点数，不能套一半；⑤按凸多边形内部连线，n−3条分n−2块。选③⑤。
题目
有下列五种说法：
① 把一个角分成两个角的射线叫作这个角的平分线；
② 连接 C，D 两点的线段叫两点之间的距离；
③ 两点之间线段最短；
④ 射线上点的个数是直线上点的个数的一半；
⑤ n 边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出（n－3）条对角线，这些对角线把这个 n 边形分成了（n－2）个三角形。
其中正确的说法有________。（填序号）
答案：③⑤。⑤按本题通常采用的凸多边形内部连线情形判断。关键是检查每句话的条件和所指数的对象，不能只凭字面相似判断。
①分成两个角，还不一定是平分
角的平分线是从角的顶点出发，在角的内部，把这个角分成两个相等的角的射线。①漏了“相等”这个必要条件，所以错。
为什么用反例检查？①如果成立，任何这样分角的内部射线都应平分。只要找出一条分成不相等两角的射线，就能推翻它。
同样是从O出发的内部射线OC：把80°分成30°和50°，只叫分开；分成40°和40°，才符合平分的定义。图上“看着在中间”不能代替两个角相等的条件。
②距离是线段的长度，别把正常简写判错
②错在把“线段”直接当成“距离”。正确说法是：连接C、D两点的线段的长度，叫作C、D两点之间的距离。
线段CD是一段图形；量这段线段，得到的长度才是这里的距离。图形当然可以有长度，不能说图形没有长短。
CD＝3cm是常用的正确简写。这时CD表示“线段CD的长度”，要按语境理解。题目中“线段CD”和算式中表示长度的CD可以使用同一记号；需要说清它当前指什么，不能把这种约定说成不通。
③两点之间线段最短，是本课的基本事实
③正确。比较连接同样两点C、D的路线，线段CD的长度最短。上图的线段CD长3cm；沿CE、EF、FD绕行，长1＋3＋1＝5cm。
这张矩形图帮助看清“比较的是长度”。一个例子不能证明所有路线；“两点之间线段最短”本身是这里使用的基本事实。若只在CD上选一个中途点、仍沿CD走，并没有绕弯，分段长度相加仍等于CD。
④方向只有一侧，不表示点数只有一半
④错误。射线向一侧延伸、直线向两侧延伸，说的是方向。不能把方向的个数直接当成点的个数，再套有限数量的“一半”算法。
射线和直线上都各有无穷多个点。若用“每个点恰好找到一个伙伴”的一一对应方法比较，这两种图形的点可以配得同样多。下面给出一种完整规则；并不是把图上的几个整数刻度当作所有点来数。
选看：怎样把两边所有点一一配对
先给点分组，再给每组找伙伴。把射线上的点从0开始分组：0至1一组，1至2一组，2至3一组……。每组包括左边的整数点、不包括右边的整数点，防止公共端点归到两组。例如1归“1至2”这一组，不归“0至1”。这是分组的约定，不是把线段的定义改成只含一个端点。
直线上的点也这样分组。配对时先取0至1这一组，再交替取左边下一组、右边下一组，次序是0至1、−1至0、1至2、−2至−1、2至3……：
| 射线上的分组 | 直线上的伙伴组 |
|---|---|
| 0至1 | 0至1 |
| 1至2 | -1至0 |
| 2至3 | 1至2 |
| 3至4 | -2至-1 |
| 4至5 | 2至3 |
为什么后面不会漏组：射线各组从0开始编号。直线上k至k＋1这一组（k≥0），由射线编号2k的组配到；直线上−k至−k＋1这一组（k≥1），由射线编号2k−1的组配到。例如直线1至2来自射线2至3，直线−1至0来自射线1至2。这样每一组都恰好轮到一次。
每一组里也不漏点：把这一组点整体平移到伙伴组中，离左边整数点相同位置的两个点配成一对。左边整数点配左边整数点，中点配中点，其他每个位置也一样。两边每个点都只有一个伙伴，也没有点被剩下；不需要先把一组内所有点逐个数完。
这种配对不要求保持两幅图整体的左右次序，只用于比较点能否一一配对。它不能推出“所有无穷都一样多”，也不能概括成“无穷永远不能比较”。本题要纠正的是把方向数、长度和有限点数的一半算法混为一谈。
⑤对角线条数和三角形块数要分开说明
⑤在本题通常的凸多边形情形下正确：从同一顶点连到其余顶点，内部连线只在起点相遇，不在图形内部交叉。
过这个顶点的对角线有n−3条，是因为n个顶点中排除自己和两个邻居。不经过这个顶点的外轮廓边有n−2条，每条恰好封住一块三角形，所以分成n−2块。这两个数的理由不同，不能把条数当成块数。
- △ABC
- △ACD
- △ADE
- △AEF
六边形的示意图是3条对角线、4块三角形；它帮助核对，通用理由仍是上面的排除和对应关系。各边、各角不必相等。若换成有凹角的图形，要先检查从所选顶点的连线是否都在内部，不能不看条件就套同一种分割。计数的详细说明也可回看第1题：过一个顶点的对角线与第2题：分出的三角形。
自测：检查理由，不只记③⑤
①∠AOB＝80°，OC在内部，∠AOC＝40°。还需要量一次∠COB，才能判OC平分∠AOB吗？
②有人说：“CD＝3cm把图形写成了数，所以这句话一定错。”你怎样修正他的判断？
③把六边形画成不规则的凸多边形，仍从同一顶点画齐内部对角线，三角形块数会因各边不等长而变化吗？
展开自测答案
①不必再量。OC在内部，∠AOC＋∠COB＝∠AOB，所以∠COB＝80°−40°＝40°；两角相等，OC符合角平分线定义。这里用到了“在内部”和“原角80°”两个条件。
②CD＝3cm是用CD表示线段CD长度的常用简写，不能判错。需要纠正的是把线段图形本身定义为距离；距离是这条线段的长度。
③不会。仍有3条对角线分成4块三角形，依据是顶点、邻接和内部连线的结构。计数不要求各边相等；若改变的是起点位置或连线是否在图内，才需要重新检查原理由。
配套真题：直接核对③的基本事实
下面的原卷题直接对应“两点之间线段最短”。后三个选项还涉及菱形、外角和与轴对称；还没学这些知识时，先用本课③直接识别A，其他说明可以学到以后再复查。
2024·湖南·第6题
下列命题中，正确的是
A．两点之间，线段最短
B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为720°
D．直角三角形是轴对称图形
展开真题答案与各项说明
选A，它正是本课③的基本事实。
B不是对所有菱形都成立。菱形的四条边相等，对角线却不必相等。正方形也属于菱形，它的对角线相等；不能因此说“每个菱形的两条对角线都相等”，也不能反过来说“每个菱形的两条对角线都不相等”。
C错误。按通常外角和的定义，多边形各取一个外角、沿同一方向绕一周，总和为360°，正五边形也一样，不是720°。
D不是对所有直角三角形都成立。等腰直角三角形有对称轴；两条直角边不等长的直角三角形不具这种轴对称，不能把一类中特殊成员的性质说成所有成员共有。