第3题 · 九边形：54次计数，27条对角线

6个可连顶点加自己和两个邻居，共9个顶点。九个顶点各数6次共54次，每条线两端各数一次，才除以2得27条；AC与CA是同一条线，部分顶点计数不能直接除2。

题目

若一个多边形从一个顶点出发可引出 6 条对角线，则这个多边形共有________条对角线。

答案：27条。先确定是九边形，再区分“数了多少次”和“实际有几条线”。

对角线连接两个不相邻顶点。固定A，A自己不能与自己形成线段，邻居B、I只能连成边。除此之外有6个顶点可连，所以顶点总数是：

6+1+2=9.

教学示意：固定A，排除自己和相邻的B、I。虚线AC、AD、AE、AF、AG、AH，共6条；外轮廓实线是边。原题未给正多边形条件，图仅用于点名和计数。

这里的A到I是教学用的点名，原题没有给图或字母，也没有正多边形条件。六条是AC、AD、AE、AF、AG、AH；不要把“六条”误当成“六个顶点的多边形”。

每个顶点都按同一规则排除3个，其余6个各对应一条对角线。先记“数出的次数”：

合计9×6＝54次。这还不是实际线段总数，因为各行的清单会重复。

教学示意：图中只画同一条AC。从A数，记作AC；从C数，记作CA。两个名称对应同一对端点，不能当作两条线。

看同一条AC：从A数一次，从C又数一次。其他顶点都不是这条线的端点，不会在“从我出发”的清单里数到它。因此它恰好出现两次；每条对角线都有同样的理由。

把54次中的每两次合为一条不同的线：

\frac{9\times6}{2}=27.

除以2的依据是“每一条都恰好数了两次”。不能只看到“总数”两个字就除以2；要先检查有没有重复、每条重复几次。

每个顶点引出n−3条；全部n个顶点一共数n(n−3)次，每条对角线的两端各贡献一次，所以不同对角线总数为：

\frac{n(n-3)}{2}.

这由对角线的两个端点得到，形状或朝向改变不会改变理由。不要求各边相等，也不要求对角线在图中等长。三角形有0条，四边形有2条，小图可以用来核对，但一般理由是上面的两端计数。

选看：不用重复计数，直接列出27条核对

规定一条线只交给字母排在前面的端点收录。AC交给A，C处不再收CA；每条线都有且只有一个较早的端点，因此不会漏也不会重。

A到G七行分别收6、6、5、4、3、2、1条，H、I两行没有新增，总共27条。H、I行的0表示没有新收录，从H或I单独出发仍各有6条。这是另一份不重复的实际清单；只把四边形、五边形代入公式，不算对九边形另做了一遍计数。

只让A和C分别数从自己引出的6条，共12次。能不能算12÷2＝6条不同的对角线？请先指出哪条线确实被两人都数到，再说明其他线有没有也数两次。

展开自测答案与同一条线示意

不能直接除以2。只有AC会在A的清单里记AC、在C的清单里记CA；其他10条都只数了一次。12次只多记了AC的一次，所以共有12−1＝11条不同的线。

教学示意（形状已改变）：图中只画同一条AC。从A数，记作AC；从C数，记作CA。两个名称对应同一对端点，不能当作两条线。

形状改变后仍是同一对端点A、C。两份清单的统计是12次、11条不同的线；只有被选中的端点都落在某一条线的两头时，这条线才数两次。全部九个顶点都参加，才保证每一条都恰好两次。

这道已核实真题检查本课第一步使用的“排除自己和两个邻居”。它只问一个顶点，不直接考查整个多边形的总数。

从五边形的一个顶点出发可以引________条对角线。

展开复习真题答案

答案2。五边形固定一个顶点，排除自己和两个邻居，余下5−3＝2个终点；从A可连AC、AD。这里只数一个顶点，不再除以2。

教学示意：固定A，排除自己和相邻的B、E。虚线AC、AD，共2条；外轮廓实线是边。原题未给正多边形条件，图仅用于点名和计数。

五边形图为解释用的教学示意，原卷此题没有图或选项。