第10题 · 沿痕迹复制两份α得76°，再以B作等角

题目

完成以下问题：

（1）如图 4-3-4①，若 ∠α＝38°，根据图中尺规作图的痕迹，则 ∠AOB 的度数为________；

（2）如图 4-3-4②，利用无刻度的直尺和圆规，以点 B 为顶点，射线 BC 为一边，作出 ∠PBC＝∠DAB。

答案：（1）∠AOB＝76°；（2）作图如下，射线BP使∠PBC＝∠DAB。

先分清两问。（1）的已知角α单独画在左边，O处要认出连续复制了几份；（2）把∠DAB复制到B处，原题没有给∠DAB的度数，不能把第一问的38°拿来用。

（1）从M走到N，再从N走到Q：复制了两次

为说清痕迹，把O处主弧与OB的交点补记为M，中间截点补记为N，与OA的交点补记为Q。这些是讲解补上的字母，原图没有M、N、Q，也没有内部的平分射线。

先在已知角α的两边取同半径弧的两个交点。它们的间距可用圆规取出；“弦”就是连接圆上两个点的线段，这里用它的长度记录角张开的大小。

第一截：针脚放在M，开口取刚才那段交点间距，画小弧与O处主弧交于N。这是把角α复制一次，所以∠MON＝α。

第二截：开口不变，把针脚移到N，沿同一方向再截主弧于Q。还是同半径与同弦长，第二个张口∠NOQ也等于α。

为什么同样的开口能复制角？看由两条半径和两交点连线围成的三角形：两条半径长度一样，第三边也取一样长，形状就可以对应重合，顶点处的张口随之相同。重点是把这三个长度一起保留；只画同半径的大弧不够。

补画虚线ON，方便指出两份角。ON是讲解辅助线，不能倒过来说原题先给了一条角平分线。

整个∠AOB由两份α相加，因此：

$$2\alpha=2\times38^\circ=76^\circ.$$

（2）以B为顶点、BC为一边，复制∠DAB

先认指定对象：已知角的顶点是A，两边是AB、AD；新角的顶点是B，已给的一边是BC，要找另一边BP。下面取BC上方一解，图的外观不作为量角依据。

第一步：A处画弧，记下两个交点。以A为圆心，取一个合适半径画弧，分别交AB、AD于E、F。E、F是讲解补记；圆规可以取出EF的长度，无需刻度。

第二步：B处画同半径的弧。保持刚才的圆规开口，以B为圆心画弧，交射线BC于G。于是BG＝AE。此时还没有找到P，因为同一弧上可以取很多个点。

第三步：复制EF，截出P。两脚对准E、F取长，保持两脚距离不变，把针脚移到G。以G为圆心、EF为半径画一小段弧，与B处的弧相交于P。此时BP＝AF、GP＝EF。

第四步：作射线BP。用无刻度直尺从B经过P继续延长，保留三支弧作为作图痕迹；完成图见本页开头。P在B处的弧上，G在BC上，所以新角∠PBC正是由这两条半径确定的张口。

原角中保留的长度	新角中对应的长度	为什么相等
AE	BG	A、B处画弧的半径相同
AF	BP	P在以B为圆心的同半径弧上
EF	GP	以G为圆心，开口取EF

两个三角形的三段长度都能对应重合，因此∠PBC＝∠DAB。这里比较的是三角形的三边；角由两条射线组成。

动手看：截弧、保持开口换针，再画射线

改变α或自定演示角时，固定讲解会停止，保留你的新选择。第二问的自定度数只用于探索，原题并未给出这些数值。

先解释，再展开核对

检查1：仍按图①连续复制两次，若α改为50°，∠AOB是多少？若已知整个∠AOB为100°，又怎样反求α？

展开两次复制与反求

两次同样的角相加，∠AOB＝2×50°＝100°；反过来，两份合100°，每份α＝50°。数清操作次数后再决定乘2还是除2。

检查2：第二问只要求∠PBC＝∠DAB，未说BP在BC哪一侧。改取下方交点还能成立吗？

展开另一侧的一解

能。下方交点同样满足BP等于原来半径、GP＝EF，只是把新角沿BC镜像到下方，角大小保持。图中仍把所选交点记为P，两幅是分别展示的两解。

检查3：若只保持A、B处的大弧半径，却随意改变G处的小弧开口，还能保证作出等角吗？

展开两个开口各自的作用

不能。前两支弧保留半径，第三支弧必须保留EF这段交点间距。把EF换成别的长度，一般会把角的张口改掉；EF也不应随意当成大弧半径。

配套真题：2024·北京·第7题（全等名称以后选读）

这道原题完整考查同半径、同交点间距的复制角作法，直接对应第二问，也解释第一问为什么能连续重复同一种复制。它没有直接问2α。还没学三角形全等时，先对照作图步骤与三段长度，正式判定名称可以以后再看。

（2024·北京·第7题）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法。

（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；

（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；

（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB。

已知角AOB

所作角A′O′B′

上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是

（A）三边分别相等的两个三角形全等

（B）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

（C）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

（D）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

展开答案与三组长度

选A。O′C′＝OC，O′D′＝OD，C′D′＝CD；三边分别相等的两个三角形全等，常简写为SSS，因此对应顶角相等。

原卷扫描PDF（第2页第7题）。