第11题 · 圆内不交叉分割：2、4、6、8，得到2n−2

题目

在一个圆周上取若干个点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，可以将圆分割成若干个不重叠的区域。如图 4-3-5 所示：当圆周上有 2 个点时，圆被分成 2 个不重叠区域；当圆周上有 3 个点时，圆被分成 4 个不重叠区域……当圆周上有 n（n＞1）个点时，圆被分成的不重叠区域个数为________。

答案：按图所示的完整分割方式继续，区域数为2n−2。这里n是圆周上的点数。原图的前四个区域数是2、4、6、8，不能改画成所有点两两全部连线。

n＝5 · 完整图

外块5＋内三角形3＝8个区域。

先守住原题条件：连线不再相交产生新的点。四点图只有一条内部对角线；五点图从一个顶点引出两条内部对角线。它们没有交叉，也没有五角星。下面沿同一种完整分割方式说明为什么成立。

先看五点图：把每个区域归到一类

连接圆周上两个点的线段叫弦。本图先用5条弦围成五边形，再从上方顶点补2条内部对角线。所有线在圆内都不再相交。

第一类：多边形外、圆内的块。沿圆周走一圈，每相邻两个点之间有一段圆弧，它与对应的一条五边形边围成1个外块。五边形有5条这样的边，圆周也有5段对应圆弧，所以有5个外块。它们仍在圆内，不能叫“圆外区域”。

n＝5 · 完整图

外块共5个。

第二类：五边形里面的三角形。上方同一个顶点向两个不相邻顶点引线，五边形完整分成3个三角形，没有交叉、重叠或空隙。

n＝5 · 完整图

内三角形共3个。

两类相加，5＋3＝8。数区时每数过一块就作记号；内部的线条数、圆周点数和区域数是三种不同的量，不能混为一数。

点数变成n，为什么是2n−2

当n≥3时，按图把圆周上的相邻点连成多边形，再从一个顶点把内部完整分成三角形。

外块有n个。圆周上n个点按次序相邻，恰好分出n段圆弧；每段圆弧对应1个外块。

内三角形有n−2个。从选定顶点出发，自己和两个相邻顶点不能作为内部对角线的另一个端点，其余n−3个顶点各可连接。原多边形是一块，每添一条不交叉的内部对角线就多1块，因此内部被分成1＋(n−3)＝n−2个三角形。

外块与内三角形合起来刚好是整个圆，没有哪一块被重复算到。因此：

$$n+(n-2)=2n-2.$$

用实际分组核对

点数n	外块	内三角形	总区域
2	2	0	2
3	3	1	4
4	4	2	6
5	5	3	8
6	6	4	10
7	7	5	12
8	8	6	14

点数从5换成6，外块从5增为6，内三角形从3增为4，两类各多1，所以总数从8变成10。每次多2有图形结构作依据；不能把没有画出的交叉线补进来，再使用另一个问题的公式。

动手重画，再逐类数

画一条弦时，先看起点和终点。由于它在圆内不与旧弦交叉，整条画完才把一个原区域分成两个区域；因此多画1条不同的弦，就多1个区域。五点完整图有7条不同的弦，对应1＋7＝8区，可以用来核对刚才的分类计数。

先说明条件，再展开核对

检查1：仍按原图完整分割，圆周有6个点时是多少区？解释两类分别有多少。

展开六点图与核对

外块6个，内三角形6−2＝4个，合6＋4＝10个区域。这里是换成六点的新示意图，不是在旧图上偷偷增加交叉线。

n＝6 · 完整图

外块6＋内三角形4＝10个区域。

检查2：五点图少画最后一条内部对角线，其他线仍不交叉。区域数还一定是8吗？

展开少画一条线的图

n＝5 · 重画连线

已完成6条不同的弦；当前7个区域。

不是，只有7区。原来的两个内三角形合成一个较大的区域，内部没有完整分成三角形。只说“不交叉”，却不说明按哪一种连接规则、是否完整分割，单凭点数不能唯一确定区域数。

检查3：圆周上4个点，画完四边形后只添原图的一条内部对角线。一共5条不同的弦，为什么得到6区，而不是把5当答案？

展开条数和区域数的区别

开始未画弦的整个圆就是1个区域。每完成1条内部不交叉的弦，再多1区，所以1＋5＝6；也可由外4块＋内2个三角形核对。不能把线条条数当作区域个数。

本题可带走的判断是：先确认怎样连接以及是否完整分割，再把每一块归类；最后用一般结构解释数量。按原图完整分割时是2n−2，改变连线条件后先重新数图。