第12题 · 三种起点沿原边数：n−2、n−1、n

题目

从多边形的一个顶点出发的对角线、或多边形边上一点（非顶点）与各顶点的连线、或多边形内部一点与各顶点的连线，能将多边形分割成若干个小三角形。图 4-3-6①给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了 2 个、3 个、4 个小三角形。

（1）按上述方法将图 4-3-6②中的六边形进行分割，并写出每种分割方法所得到的小三角形的个数；

（2）当多边形为 n 边形时，写出每种分割方法所得到的小三角形的个数。

答案：（1）六边形依次分成4、5、6个三角形；（2）按材料的完整分割方式，n边形依次分成n−2、n−1、n个三角形。

三幅完成图如下。顶点A、边内点P、内部点P是三幅图各自的出发点；A至F与P为讲解补记，原图没有这些字母。

6边形 · 顶点出发

完整分成4个三角形；2条原边经过起点，不作底。

6边形 · 边内点出发

完整分成5个三角形；1条原边经过起点，不作底。

6边形 · 内部点出发

完整分成6个三角形；0条原边经过起点，不作底。

先看题目真正改变的是什么：起点在顶点、原边内部，还是多边形内部。“边上一点”在本题特指非顶点；不要求它是中点。内部点也不要求是正中心。

第一种：顶点A出发，六边形得4块

六条原边是AB、BC、CD、DE、EF、FA。AB和FA已经经过起点A，不能再与A围出新的三角形。其余四条原边BC、CD、DE、EF，各与A围成一块，依次是△ABC、△ACD、△ADE、△AEF。

为得到这些块，从A画AC、AD、AE三条内部对角线。三条新线与四个三角形是两种数量。一般n边形中，两条邻边不能作底，剩n−2条原边，对应n−2个三角形。

第二种：边AB内部的P出发，六边形得5块

P在AB内部，A、P、B共线，所以原边AB不能作三角形的底。BC、CD、DE、EF、FA五条原边都可与P围成三角形，得到5块。

新添PC、PD、PE、PF四条线；PA、PB只是沿着原边AB的两段，不是两条新的内部切线。这里数的是原来的六条边，不能因为P在AB上，就把原边总数改成七条。

一般n边形只排除P所在的一条原边，剩n−1条，每条对应一个三角形，所以得到n−1块。

第三种：内部点P出发，六边形得6块

P不在任何原边上。AB、BC、CD、DE、EF、FA六条原边都能和P围成三角形，所以完整连接PA、PB、PC、PD、PE、PF后，得到6块。

一般n边形没有哪条原边需要排除，每条都对应一块，所以得到n个三角形。

6边形 · 内部点出发

已完成1条新连线，当前1个区域；尚未完整分成三角形。

用同一条关系概括三种分法

n表示原多边形的边数。每个完整扇形三角形，对应一条不经过起点的原边；把不能作底的原边排除即可：

出发点位置	不作底的原边	6边形三角形	一般n边形
顶点	2条	4个	n−2
边内非顶点	1条	5个	n−1
内部点	0条	6个	n

$$n-2,\quad n-1,\quad n.$$

这些关系来自实际底边与三角形的对应。四边形材料中的2、3、4是核对例子，不能只凭一个小图或一串数字就代替一般理由。

本课按材料中的凸图，或能让这些连线都留在内部、分块不重叠也不留下空隙的情形讨论。遇到凹多边形，如果某条线跑到图外，先检查是否仍能用这种完整扇形分割，不能直接套图示结论。

动手看真实描线，再移动P

P沿AB靠近A时，只要仍是边内非顶点，AB仍是唯一不能作底的原边，三角形数保持5。只有真正与A重合时，FA也经过起点，有一块缩成线段不再算三角形，才变成4块；不是“越靠近就逐渐少一块”。

先说明依据，再展开核对

检查1：换成八边形，三种起点各分成多少个三角形？分别说明排除了几条原边。

展开八边形比较

出发点位置	不作底的原边	8边形三角形	一般n边形
顶点	2条	6个	n−2
边内非顶点	1条	7个	n−1
内部点	0条	8个	n

顶点排除两条邻边：6块；边内点排除所在一条原边：7块；内部点不排除原边：8块。

检查2：六边形中的P从AB内部移近A但还没有重合，块数是否已经减少？如果P真的与A重合呢？

展开靠近与重合的两幅图

6边形 · 边内点出发

完整分成5个三角形；1条原边经过起点，不作底。

6边形 · 顶点出发

完整分成4个三角形；2条原边经过起点，不作底。

靠近仍5，重合才4。判断依据是起点到底落在哪里，不是离端点或中心有多远。

检查3：内部P只画完PA，能不能立刻按1条线＋1，写成2个区域？

展开第一段的作用

不能。PA只把内部点接到边界，并未围出新的区域，仍1区。画完PB才与原边AB合围出三角形；完整画6条后是6块，不是7块。

配套真题：2023·江苏宿迁·第13题（角度关系选读）

若已经学过三角形内角和180°，可以用同一题比较三种分割。主线数三角形不依赖这条角度结论。

2023·江苏宿迁·第13题

七边形的内角和是________。

展开900°与三种分割核对

七边形内角和900°。下面三图是按本课方法制作的解析示意，原卷这道填空本身无图、无选项。

7边形 · 顶点出发

完整分成5个三角形；2条原边经过起点，不作底。

7边形 · 边内点出发

完整分成6个三角形；1条原边经过起点，不作底。

7边形 · 内部点出发

完整分成7个三角形；0条原边经过起点，不作底。

七边形分法	三角形角和	扣掉起点处额外角	原内角和
顶点	5×180°＝900°	0°	900°
边内点	6×180°＝1080°	180°	900°
内部点	7×180°＝1260°	360°	900°

顶点分5块，不额外算起点角；边内点分6块，P处多出的平角180°应扣掉；内部点分7块，P处的周角360°应扣掉。三种方法都回到900°，对应的分块数分别是5、6、7，不能混淆。

试卷原题：2023年江苏省宿迁市中考数学原卷第13题。题干按已核验原卷保留，不增添“凸”字、度单位、图或选项；解析图另作说明。