第1题 · 固定一个顶点，八边形可引5条对角线

对角线连接不相邻顶点。固定A，A自己不能连，邻居B/H连出的是边，其余C/D/E/F/G各对应一条，共8−1−2＝5，选A；形状改变或换起点仍按同一邻接关系计数。

题目

八边形中过其中一个顶点的对角线条数为（　　）。

A. 5　　B. 6　　C. 7　　D. 8

答案：A，5条。这里固定的是一个顶点，每条对角线只从这个顶点出发。

教学示意：固定A，排除自己和相邻的B、H。虚线AC、AD、AE、AF、AG，共5条；外轮廓实线是边。原题未给正多边形条件，图仅用于点名和计数。

先认识定义：连接多边形两个不相邻顶点的线段，叫作这个多边形的对角线。“相邻”就是沿外轮廓有一条边直接连接；不靠两个点在纸上看起来离得近不近。

原题没有给图。上面依次把八个顶点标为A、B、C、D、E、F、G、H，便于点名；它们是教学用的名字。规则画法方便读图，计数不需要八边形各边、各角相等。

八个顶点先减去自己，还剩7个；其中两个相邻顶点只能连成边，所以：

8-1-2=5.

可引的对角线逐条列出：AC、AD、AE、AF、AG。它们的起点都固定为A，终点各不相同，没有重复，也没有遗漏。

这就是选择A的理由。答案5来自顶点是否相邻，不是量线段的长短，也不是数图里所有线段。

教学示意（形状已改变）：固定A，排除自己和相邻的B、H。虚线AC、AD、AE、AF、AG，共5条；外轮廓实线是边。原题未给正多边形条件，图仅用于点名和计数。

这一张的边长和角的大小已经改变，但顶点顺序仍是A到H，A的邻居仍为B、H。因此排除的仍是A、B、H，可连的仍是C、D、E、F、G，仍为5条。

只要还是八个顶点、A的这两个邻接关系保留，就使用同一个理由。不能把“画成规则形状”误当作原题条件。

固定一个顶点：n个顶点中，自己占1个，沿外轮廓相邻的顶点占2个。其余每个顶点与它组成一条对角线，所以：

n-1-2=n-3.

这里n表示顶点数，也等于边数。三角形也符合：3−3＝0，因为另外两个顶点都是邻居，没有不相邻的顶点。

这是由定义和邻接关系得到的一般理由；四边形、五边形的小图可以用来核对，但不靠只试几个数来证明所有n。

从固定A出发，AC只出现一次，AD也只出现一次，并没有把同一条线从另一端再数一遍，所以不用除以2。

选看：整个八边形的对角线总数怎样算

若改问“整个八边形”，才把8个顶点各自引出的5条先累计成8×5＝40次。每条对角线都有两个端点，在这40次里被数了两次，再除以2得到20条。

8÷2＝4既不是本题的一顶点条数，也不是整个八边形的总数。先明确在数什么，再决定有没有重复；不能只看到“线有两端”就直接把顶点数除以2。

①换形状：仍是八边形，从A出发，把图拉成不规则的样子后仍能引5条吗？请明确说出要排除的三个顶点。

②换起点：改从H出发，哪两个点成为邻居？五条对角线分别连到哪些顶点？

展开两问答案与示意

①仍为5条。形状改变后仍排除A自己和B、H两个邻居，余下C、D、E、F、G各对应一条对角线。

②H的邻居是G、A，排除H、G、A；能连到B、C、D、E、F，得到HB、HC、HD、HE、HF，仍为5条。

教学示意（形状已改变）：固定H，排除自己和相邻的G、A。虚线HB、HC、HD、HE、HF，共5条；外轮廓实线是边。原题未给正多边形条件，图仅用于点名和计数。

迁移检查：先固定起点，再按外轮廓找两个邻居，最后把剩余终点与对角线逐条对应。边数改变用n−3，形状改变不自动改变数量。

本题与原卷第14题都是“从固定顶点引对角线”，使用完全相同的排除理由。原题没有附图或选项，下面保留完整填空题。

从五边形的一个顶点出发可以引________条对角线。

展开真题答案与教学示意

答案2。五个顶点中排除自己和两个邻居，剩下5−3＝2个终点。若把五边形依次标为A、B、C、D、E，从A引出的两条是AC、AD。

教学示意：固定A，排除自己和相邻的B、E。虚线AC、AD，共2条；外轮廓实线是边。原题未给正多边形条件，图仅用于点名和计数。

这张五边形是解释用的重绘示意，原卷此题为无图填空题。