第7题 · 按1∶2∶6分圆，九份里取最大的六份

题目

将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角度数的比为 1∶2∶6，求最大扇形的圆心角的度数。

答案：最大扇形的圆心角是240°。比1∶2∶6表示三个角分别占1份、2份、6份，不能直接读成1°、2°、6°。

需要用到一周角360°、比表示相同大小的份数，以及乘除法。原题没有给图、半径或面积；下面是帮助理解的教学示意。

九份怎样拼成一周

三个大扇形对应1份、2份、6份。虚线是为了数份而补的辅助线，不改变原题的三个扇形：

$$1+2+6=9\text{（份）}.$$

九份都一样大，合起来360°，所以每份是：

$$360^\circ\div9=40^\circ.$$

“9份”是份数，“40°”是一份的角度，两个量不能混为一谈。

为什么最大的角可以是240°

最大扇形占6份，所以：

$$6\times40^\circ=240^\circ.$$

半圈是180°，6份超过全部9份的一半，所以这个扇形超过半圆。沿图中大扇形内部转过六份，对应的就是240°。

同样两条边的另一侧，1份和2份合成三份，角度为40°＋80°＝120°。120°是另一侧两个扇形合起来的角，不是最大扇形的角。要看所求区域对应哪一段角，不能一律取两条边之间较小的角。

验算要同时核对两件事

第一，三个角应拼满一周：

$$40^\circ+80^\circ+240^\circ=360^\circ.$$

第二，每一份的度数应相同：

$$40\div1=80\div2=240\div6=40.$$

这两项分别检查“整体是否拼满”和“是否按原比来分”。仅仅加起来360°，还不能保证分配正确。

换条件，先判断整体与份数

检查1：若改为把一个半圆按1∶2∶6分成三个扇形，最大圆心角还是240°吗？先指出哪一个已知量改变了。

展开半圆核对

整体变成半圈180°，总份数仍是9份。一份180°÷9＝20°，最大6×20°＝120°；不能继续用360°。

共9份，一份20°。

份数	圆心角
1份	20°
2份	40°
6份	120°（最大）
共9份	共180°

检查2：三个角若分别为60°、60°、240°，加起来也是360°，最大角也是240°。这组数是否符合原题的1∶2∶6？用“每一份”的度数说明。

展开比例核对

不符合。60÷1＝60，60÷2＝30，240÷6＝40，三次得到的一份大小不同。或者把60∶60∶240约成1∶1∶4，和原题不同。不能只看总和或最大值。

检查3：一个整圆的角度比改写成2∶4∶12，各个角会变吗？

展开等比核对

不变。2∶4∶12各项同时除以2，就是1∶2∶6。也可以按18份来算：一份20°，2、4、12份分别是40°、80°、240°。

共18份，一份20°。

份数	圆心角
2份	40°
4份	80°
12份	240°（最大）
共18份	共360°

留下这条关系：先认整体角度 → 加总比例份数 → 求一份 → 乘目标份数。只有完整分配同一个整体、且各份大小相同时，才能这样对应；整圆用360°，半圆用180°。

把人数当份数，做一道中考真题

扇形统计图也把一周360°按比例分给各组。每位学生只选一个小组，人数就可以当作份数；“某组人数÷总人数”对应“该组圆心角÷360°”。

下面保留原题全部三问。先找两幅图中同一组的数据，判断它们怎样对应，再独立作答。

2022·浙江湖州·第20题

为落实“双减”政策，切实减轻学生学业负担，丰富学生课余生活，某校积极开展“五育并举”课外兴趣小组活动，计划成立“爱心传递”、“音乐舞蹈”、“体育运动”、“美工制作”和“劳动体验”五个兴趣小组，要求每位学生都只选其中一个小组．为此，随机抽查了本校各年级部分学生选择兴趣小组的意向，并将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）．

被抽查学生选择兴趣小组意向的扇形统计图

被抽查学生选择兴趣小组意向的条形统计图

根据统计图中的信息，解答下列问题：

（1）求本次被抽查学生的总人数和扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数；

（2）将条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）

（3）该校共有1600名学生，根据抽查结果，试估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数．

展开全部三问的解析与补全图

（1）共200人；“美工制作”所对圆心角为36°。

先找两图都有的体育运动：条形图给60人，扇形图给30%，它们说的是同一群被抽查学生。30%就是总人数的30/100，因此总人数＝60÷30%＝200人。

美工制作20人，占总人数的20÷200＝1/10。和主例题相同，先求占全部的份额，再乘一周的角度：360°×1/10＝36°。30%是体育运动的份额，不能拿它计算美工制作的角。

（2）音乐舞蹈应补30人。五组人数相加应为200，所以音乐舞蹈人数＝200−50−60−20−40＝30。下图只补这一柱，其余四柱保持。

（3）估计400人。抽查中选择爱心传递的份额是50÷200＝1/4，用这个份额估计全校：1600×1/4＝400人。题目要求估计，不能把抽查比例当成逐个调查全校得到的精确人数。

核对角度：美工制作占1/10，因此它的圆心角应占一周的1/10；36°÷360°＝1/10，与人数份额一致。

试卷原题：2022年浙江省湖州市中考数学第20题（公开原题转写与原卷配图）。完整题干、三问及两幅原图已经核对，本站按题意重绘图表，并独立编写解析。