第5题 · 补齐同半径的圆，求得r＝12
45°把同一个圆等分成8份，每份面积18π，整圆144π。用πr²＝144π得到r²＝144，再由12×12＝144和半径为正，求r＝12；比较面积份额要保持同半径。
题目
某扇形的圆心角是 45°，面积为 18π，则该扇形的半径是________。
答案：12。先把45°这一份补成同半径的整圆，求整圆面积，再由圆面积求半径。
先认清对象：扇形由圆的两条半径和它们之间相应的一段圆弧围成。圆心角的顶点在圆心；两条半径的长度就是扇形的半径。这里把所求半径记作r，它也是补成后整圆的半径。
①先把“一份”与“整体”分清
同半径的整圆有8个这样的45°扇形，因此这一份占：
18π是这一份的面积，不是整圆面积。补全的是同一个半径的圆，不能另外换一个大小不同的圆。
②由这一份面积还原整圆
8份面积相等，每份18π，所以整圆面积：
这里乘8的依据是“8份相同的一份合起来”，不是看到45°就背一个乘8的口诀。
③从πr²回到半径
圆面积是πr²，现在已求得144π。两边含有同一个非零常数π，同除以π：
为什么取12？12×12＝144，而且半径是正的长度。不必先学一般的开平方方法，也能用这组已知乘法核对。即使知道（−12）²也等于144，−12也不能作半径。
原题没有指定长度单位，答案写12，不额外添加“厘米”。π在计算中保留为同一个常数，没有必要先取3.14近似。
把理由带走：角度比面积，先认同一个圆
在同一个圆里，圆心角占整周的几分之几，扇形就占整圆面积的几分之几。这是“扇形面积”和“整圆面积”的对应桥梁。
题目若给扇形面积、要求半径，可以按“确认同半径的整圆 → 求圆心角份额 → 还原圆面积 → 求正半径”推进。若半径也改变，就不能只看圆心角的倍数来比两个扇形的面积。
自测：算一次，再检查改变条件
①计算（自编变式）：圆心角120°的扇形面积是27π，半径是多少？先说清它占同半径整圆的哪一份，再计算。
②判断并说明条件：从本题的r＝12、45°扇形出发，把圆心角改成90°。A：半径保持12时，扇形面积是原来的2倍；B：如果半径同时改成6，扇形面积仍是原来的2倍。这两句话各对不对？
展开自测答案与两个条件对照图
①120°占整周的1/3，整圆面积27π×3＝81π，因此r²＝81；9×9＝81，半径为正，r＝9。
②A正确。半径不变，整圆面积仍是144π；90°占1/4，扇形面积144π×1/4＝36π，恰好是18π的2倍。
B错误。半径变为6，整圆面积已变成π×6²＝36π；再取这个新圆的1/4，扇形面积是9π。它是原来18π的一半，不能继续说成2倍。
两次90°都占各自圆的1/4，但两个整圆大小不同。判断能否只按角度比面积，要先检查半径是否保持相同。
配套真题：同一份额关系，换成正向求面积
2022·广东·第15题。本题从扇形面积反求半径，下面的真题给半径求扇形面积；使用的是同一条“整圆面积×圆心角份额”的关系。原卷为填空题，没有选项或附图。
扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留π）为________。
展开真题答案与教学示意
答案π。半径2的整圆面积是π×2²＝4π，90°占整周1/4，所以扇形面积4π×1/4＝π。
这张图是解析示意，原卷第15题没有图；半径以文字给定的2为准，不拿不同示意图的画面大小比较半径。