第9题 · 过O画垂线和圆，四块三角形求阴影4.56平方厘米
直线l与过O的新垂线m在圆内截出互相垂直的直径AC、BD；整条直线不是直径。圆规开口为2厘米，四交点连成最大正方形，四块底高均2的直角三角形合8平方厘米。按题目π取3.14，阴影12.56−8＝4.56平方厘米。
题目
画一画，并解决问题：
（1）过点 O 画直线 l 的垂线（如图 4-3-3，O 是直线 l 上一点）；
（2）以点 O 为圆心，画一个直径为 4 厘米的圆；
（3）在圆上挖取一个最大的正方形（剩下的部分用阴影表示）；
（4）计算这个阴影部分的面积。（π 取 3.14）
先分清两个对象：直线l向两端延伸；直径是圆周两点之间、经过圆心的有限线段。不能把整条直线叫作直径。l是小写英文字母，不是数字1。
这道题需要圆的面积、直角三角形面积，以及正方形的对称分块。我们将新垂线记作小写m，将后面四个圆周交点记作大写A、B、C、D；这些是教学作图新增的名字，原图只给O与l。
（1）过O作l的垂线m
将三角尺一个直角边贴住l，让直角顶点对着O，沿另一直角边画线并延长，记作m。核对m经过O，且m⊥l。
这时画的是两条直线。尚未截到圆周端点时，不把整条l或m称作直径。
（2）开口2厘米，以O为圆心画圆
直径是4厘米，半径为4÷2＝2厘米。圆规针脚固定在O，开口取2厘米，笔尖绕一周。
开口是半径，不是直径。两条过O的直线与圆周各相交于两个点，因此在圆内截出两条互相垂直的直径线段。
（3）顺次连接四点，标出剩余阴影
把右、上、左、下四个圆周交点依次记作A、B、C、D。用直尺顺次连接AB、BC、CD、DA，围成正方形。
AC、BD是正方形的两条对角线，也是圆的两条直径线段。圆内、正方形外的四块曲边区域才是留下的阴影。为什么这个构造达到最大，下面用面积关系核对。
用四个直角三角形求正方形面积
图中黄色暂时标出要挖去的正方形，圆内外围灰色仍表示留下的阴影。
先看△OAB：OA、OB都是半径，各长2厘米；两者垂直，所以它们就是这块直角三角形的一组底和高。
△OAB、△OBC、△OCD、△ODA四块相同，合起来就是正方形：
这里两个“2”表示的量不同：半径是2厘米，每个三角形的面积是2平方厘米。正方形边长没有直接给出，也无需先求它。
为什么这确实是最大的正方形
先看通用面积关系。任意正方形绕中心转90°都能与本身重合；它的两条对角线互相垂直、平分，把它分成四个相同的直角三角形。每块的底和高都是半条对角线。
四块相加，就得到：正方形面积＝对角线长度的平方÷2。这条关系来自对称分块，不只对图中的4厘米成立。
圆内任意两个点到圆心O的距离都不超过2厘米。先经O走一趟，这条路径最长为2＋2＝4厘米；两点间线段最短，直接连接也不可能超过4厘米。因此圆内任意正方形的一条对角线都不超过4厘米。
对角线越长，平方越大，对应的正方形面积越大。上界是4×4÷2＝8平方厘米；本构造恰好让AC、BD都取到直径4厘米，面积也恰好达到8，所以它确实最大。
（4）按题目取值作面积差
圆面积的精确表达为：
题目指定π取3.14，因此代算圆面积：
最后用圆减去挖去的正方形：
精确符号式是4π−8平方厘米；4.56是按题目指定3.14计算的结果，不是把真实π直接等同于3.14，也不是另用计算器π后再保留两位小数。
听讲解，跟着作图
固定讲解使用原题直径4厘米。垂线、圆弧和正方形四边按相应语句实际画出；可暂停、跳步或拖动进度。每段结束会暂停，先辨认对象，再主动继续。
先解释，再展开核对
检查1：为了画直径4厘米的圆，圆规开口应是2厘米还是4厘米？若开口设4厘米，画出的圆还符合本题吗？
展开圆规开口核对
开口取半径2厘米。若开口4厘米，半径就是4厘米，直径为8厘米，已经改变题目条件。
检查2：直线l与线段AC有什么关系？为什么不能说“整条l长4厘米，是一条直径”？
展开直线与线段核对
A、O、C都在l上；AC是l被圆周两端点截出的一条有限线段，长4厘米。l在A、C之外还可继续延伸，整条直线没有这两个端点，不能说它长4厘米。
检查3：把直径改为6厘米，π仍取3.14，阴影面积是多少？直径是原来的1.5倍，面积是否也只乘1.5？
展开面积与倍数核对
半径变为3厘米，每块直角三角形面积3×3÷2＝4.5平方厘米，四块合18平方厘米。圆面积为3.14×3²＝28.26平方厘米。
直径6厘米，半径3厘米；π按3.14取值。
每个直角三角形：3×3÷2＝4.5平方厘米。
正方形：4×4.5＝18平方厘米。
圆：3.14×3²＝28.26平方厘米。
阴影：28.26−18＝10.26平方厘米。
阴影10.26平方厘米。底和高都乘1.5，面积乘1.5×1.5＝2.25；圆面积、正方形面积及其差都如此，4.56×2.25＝10.26。