第2题 · 七条对角线，分成八个三角形

固定A，沿BC、CD直到IJ逐边对应一块三角形，十条边中只有AB、AJ经过A，余下八条边对应八块，选B。七条对角线与八块区域分清，换起点与形状仍检查同一对应。

题目

从十边形的一个顶点出发分别连接这个顶点与其他顶点，可把这个十边形分成的三角形的个数为（　　）。

A. 7　　B. 8　　C. 9　　D. 10

答案：B，8个。要数的是分出的三角形块数。从一个顶点画出的7条对角线，把十边形分成8块。

教学示意：固定A，虚线是7条对角线，分出的三角形共8块。沿不经过A的外轮廓边逐块对应：

实线是多边形的边，虚线是内部连线；颜色只辅助分块。图为连线都位于内部的凸多边形示意，未把各边、各角相等当作计数条件。

原题没有给图。这里把顶点依次标成A到J，名字只为点名。下面按通常的凸多边形情形解释：没有向里凹的角，从A连到其他顶点的线段都在图形内部或边界上。各边、各角不必相等。

先指△ABC，它的外轮廓边是BC，两条另外的边都通向A。下一块△ACD的外轮廓边是CD。继续沿外轮廓走，得到：

△ABC、△ACD、△ADE、△AEF、△AFG、△AGH、△AHI、△AIJ。

从A出发的内部连线只在A相遇，图内不交叉。相邻两条连线之间的区域由一条外轮廓边封住，正好是一块三角形；沿这些边走完，也就把整个十边形覆盖了一遍。各块内部不重叠，没有留下空隙。

十边形共有10条边。其中AB、AJ这两条经过A，不能充当刚才的那条外轮廓底边，所以：

10-2=8.

这里的“减2”数的是不经过A的边。上一题对角线的“减3”数的是不能连接的顶点，所数对象不同。

内部对角线是AC、AD、AE、AF、AG、AH、AI，共7条；分出的三角形是上面列出的8块。两份清单要分别点数。

选看：怎样用“新线数＋1”核对

还没画内部线时，十边形是1整块。先画AC，它变成△ABC和剩下的九边形，共2块；此时不能说“两块都已经是三角形”。再依次画AD、AE等，每条新线在原有一块内部把它分成两块，总块数增加1。

全部7条画完，剩下的最后一块也成为△AIJ，所以最终7＋1＝8块，且这时每块都是三角形。这个理由要求新线位于内部、不与已有线在内部交叉。

固定一个顶点，n条外轮廓边中有2条经过这个顶点；其余n−2条边各封住一块三角形，因此：

\text{三角形块数}=n-2.

这是“每条合格的外轮廓边，恰好对应一块”的一般理由。只试四边形、五边形可以核对，不能代替这个对应关系。

适用时要核对：从同一个顶点连出、连线都在图内、画齐所需连线。凸多边形满足这样的分割条件；任意有凹角的图形，不能不检查连线是否跑到图外就照套这个切法。

①换起点与形状：把十边形拉成不规则的凸多边形，改从H连到其他顶点，还会分成8块吗？请说出哪两条外轮廓边不能当作各块的底边。

②没有内部线：三角形从一个顶点出发，没有对角线。这时是0块三角形，还是1块？这说明“对角线条数＝三角形块数”对吗？

展开自测答案与换起点示意

①仍是8块。经过H的两条边是GH、HI；其余IJ、JA、AB、BC、CD、DE、EF、FG各对应一块，从△HIJ依次到△HFG。形状和起点改变，边与三角形的一一对应保留。

教学示意（形状已改变）：固定H，虚线是7条对角线，分出的三角形共8块。沿不经过H的外轮廓边逐块对应：

实线是多边形的边，虚线是内部连线；颜色只辅助分块。图为连线都位于内部的凸多边形示意，未把各边、各角相等当作计数条件。

②是1块，原来的三角形本身就是一块。没有对角线不等于没有三角形：0＋1＝1，也符合3−2＝1。先确认问题在数线还是数块。

这道真题问角度总和。它要用本课的分割块数，再用一个三角形三个内角的和是180°。还没学这条结论时，可以先完成上面的数块自测，之后再看这里的应用。

七边形的内角和是________。

展开真题答案与分割说明

答案900°。七边形从一个顶点引出4条对角线，分成7−2＝5个三角形；这里用的是5块，而不是4条线。

教学示意：固定A，虚线是4条对角线，分出的三角形共5块。沿不经过A的外轮廓边逐块对应：

实线是多边形的边，虚线是内部连线；颜色只辅助分块。图为连线都位于内部的凸多边形示意，未把各边、各角相等当作计数条件。

这些三角形的角完整拼成七边形的内角：其他顶点的角各出现一次，A处的几小角合成A的内角，没有引入内部新顶点的整周角。因此内角和是5×180°＝900°。

这张图是解析用的教学示意，原卷第13题没有附图或选项。