第10题 · 从B两侧找C，再把AC取半

BC＝4 cm只给距离，没有给方向。从B两侧各找一次，先按点序求AC＝8或16 cm，再由M平分AC，得到AM＝4或8 cm；改成C在线段AB上后只保留4 cm。

题目

已知线段 AB＝12 cm，在直线 AB 上有一点 C，且 BC＝4 cm，M 是线段 AC 的中点，求线段 AM 的长度。

答案：AM＝4 cm或8 cm。 从B的两侧各找一处C，再分别求出AC的一半。

先分清两条条件：“C在直线AB上”允许越过端点；“M是线段AC的中点”要求M在A、C之间，并且AM＝MC。 BC＝4 cm只告诉C离B多远，还没有告诉方向。

AB长12 cm，只朝A走4 cm，还没有到A，所以C在A、B之间。整段AB由AC和CB接成，要找AC，就从12 cm中去掉4 cm。

AC=AB-BC.

AC=12-4=8\ \text{cm}.

M是AC的中点，把8 cm平分成AM、MC相等的两份：

AM=MC=AC\div2.

AM=8\div2=\boxed{4\ \text{cm}}.

原题无图，按条件绘制的讲解示意。C在A、B之间，AC＝8 cm，AM＝4 cm；点序A—M—C—B。细灰虚线只用于标名。

这里点序是A—M—C—B。反过来检查，AC＋CB＝8＋4＝12 cm，AM＋MC＝4＋4＝8 cm，与两条条件相符。

这次C在B外侧，B在A、C之间。整段AC由AB和BC首尾接成，要把两段相加。

AC=AB+BC.

AC=12+4=16\ \text{cm}.

AM=AC\div2=16\div2.

AM=\boxed{8\ \text{cm}}.

原题无图，按条件绘制的讲解示意。C在B外侧，AC＝16 cm，AM＝8 cm；M仍在B前，点序A—M—B—C。细灰虚线只用于标名。

从A到M为8 cm，小于从A到B的12 cm，所以M仍在B前面，点序是A—M—B—C。中点必须在A、C之间，并不要求在B、C之间。反查AM＋MC＝8＋8＝16 cm，AC−AB＝16−12＝4 cm，条件也满足。

看到“只给BC的长度”，先从B的两个方向找候选C；再检查题目允许C在线段、射线还是整条直线上。合法位置确定后，按点序找出哪段是整段，再用M平分AC。中点取半的关系不变，AC怎样求、哪些候选允许，要随条件重新判断。

自测：只把“在直线AB上有一点C”改为“在线段AB上有一点C”，其余条件不变。原来的两个AM答案还都成立吗？先指出被排除的C在哪里，并说明范围依据。

展开自测图与理由

原题无图，按条件绘制的讲解示意。改成C在线段AB上后，这一处仍合法，AM＝4 cm。细灰虚线只用于标名。

原题无图，按条件绘制的讲解示意。改变后的线段AB到B为止，叉号处是被排除的候选C，不标M，也不保留AM答案。细灰虚线只用于标名。

线段AB只包含A、B及两者之间的位置。越过B的那一处候选C不符合新范围，不能保留8 cm。只剩A、B之间的C，AC＝8 cm，AM＝4 cm。

下面的真题直接检查本题使用的中点定义与全段、一半之间的关系；它不要求本题的两位置分类。题图中的点名按它自己的原题读取。

（2022·广西桂林·第12题）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2 cm，则AB＝______cm．

按原题重绘：A、C、B依次在线段上；C为中点。

展开真题答案与理由

答案4。C为AB中点，所以AC＝CB＝2 cm，AB＝AC＋CB＝2＋2＝4 cm。本题已知一半求全段；上面的主例已知AC整段，取一半求AM。