第9题 · 延长取中点，再沿射线接成三倍

题目

如图 4-1-13，点 A，B，C 是不在一条直线上的三个点，过 B，C 两点作直线，并连接 AB，AC。

（1） 尺规作图：求作点 D，延长 CA 至 D，使得点 A 为 CD 的中点；求作 AE，作射线 AB，在射线 AB 上截取 AE＝3AB（作图工具只限无刻度的直尺和圆规，保留作图痕迹）；

（2） 若 AB＝AC，CD＝8 cm，求 BE 的长。

答案：（1）按下图作出D、E并保留圆弧等作图痕迹；（2）BE＝8 cm。中点要求C—A—D且AC＝AD；三倍要求沿射线把AB这样的长度首尾接满三段。

先记住：中点不只是“两段一样长”，还要在两端之间。圆规固定张口，可以把同一个长度搬到另一个位置；无刻度直尺负责画直线，不能拿刻度量出作图长度。

（1）先把D的两个条件同时满足

线段CA与AC是同一条线段，但“延长CA”这个动作按C→A的顺序，指定从A这一端接出去。不能从A朝C那边延长。

要让A为CD的中点，需要同时做到：

• C、A、D依次排列，A在C与D之间。
• AD＝AC。

先延长CA，再把针脚固定在A，笔脚对齐C，取AC张口画弧。选圆弧与CA延长线的交点D，不是选任意一个与A等距的点。

D不在原来C的那一侧。在本题等长示意图中，圆弧还会经过B；可是B不在CA延长线上，不能把B当成D。位置与长度两个要求缺一不可。

再把AB这样的长度接满三段

先作射线AB：原AB已经画好，从B沿A到B的方向继续延长；整条射线的起点仍是A。

AB已经占一段，只需再接两段。把圆规针脚放在A、笔脚对齐B，取AB张口。随后保持张口：

1. 针脚放B，笔脚先对齐A，向B外侧画弧，与射线交出的新点暂标F，得到BF＝AB。
2. 针脚放F，笔脚先对齐B，再向F外侧画弧，与射线交于E，得到FE＝AB。

F是帮助接长的辅助点，不是原题的已知点。沿射线依次是A—B—F—E。

$$AE=AB+BF+FE=3AB.$$

这样画出的每一段都由同一张口保证，不靠“看起来差不多长”。本题给AB＝AC时，两次取的张口恰好相同；一般作图仍须分清，取D用AC，接三倍用AB。

（2）先求一段，再求BE

CD＝8 cm，A是CD的中点，所以：

$$AC=AD=\frac{CD}{2}=\frac82=4\text{ cm}.$$

又有AB＝AC，因此AB＝4 cm。三段首尾相接：

$$AE=3AB=3\times4=12\text{ cm}.$$

B在A、E之间。从整段AE去掉第一段AB，剩下的就是BE，所以BE＝AE−AB：

$$BE=12-4=\boxed{8\text{ cm}}.$$

AC

＝4 cm

AB

＝4 cm

CD

＝8 cm

AE

＝12 cm

BE

＝8 cm

后面的4 cm和12 cm是根据条件算出的数，不是用带刻度尺在图上量出来的。图为示意，作图仍用给定线段和圆规关系。

为什么BE这次也等于CD

从AE的三段中去掉AB，剩下BF、FE两段，每段都等于AB，所以BE＝2AB。另一方面，中点给出CD＝2AC。

本题另给AB＝AC，两段原长相等，它们的两倍才相等。 $$BE=2AB=2AC=CD=8\text{ cm}.$$

这不是不加条件的“巧合”。识别线索时，先把作图翻译成关系：中点给两段相等，沿射线接三段给三倍，点序决定所求是相加还是相减。改变原段关系，就要重新检查结论。

自测：去掉AB＝AC，改给AB＝5 cm

CD仍为8 cm，A仍为CD中点，仍作AE＝3AB。BE还能照搬8 cm，或直接说BE＝CD吗？先指出哪条条件变了，再展开。

展开新图与核对

AC

＝4 cm

AB

＝5 cm

CD

＝8 cm

AE

＝15 cm

BE

＝10 cm

不能。AC仍为4 cm，但AB改为5 cm。AE＝3×5＝15 cm，BE＝15−5＝10 cm，不等于CD的8 cm。

中点关系与三倍作图都保留了；改变的是AB＝AC。BE仍等于2AB，CD仍等于2AC，原长不相等时两倍也不相等。

真题回查：中点把全段平分

这道题直接检查上面用到的全段与一半关系，下面是另一道题的点名与图。

（2022·广西桂林·第12题）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2 cm，则AB＝______cm．

展开真题答案与理由

4 cm。C是AB的中点，AC＝CB＝2 cm，所以AB＝AC＋CB＝4 cm。本题由一半求全段，我们的作图题则由CD全段求AC的一半。

出处：2022年桂林市中考数学完整原卷文本复刻，第3页第12题。沿用项目已经逐字、逐图核验的原题。

尺规真题迁移：圆规如何传递等长（选学）

下面的完整真题复用“保持张口复制长度”。它的完整选项理由用到后续的三角形全等；我们的主解法不需要这个定理。

（2024·北京·第7题）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法。

（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；

（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；

（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB。

已知角AOB

所作角A′O′B′

上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是

（A）三边分别相等的两个三角形全等

（B）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

（C）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

（D）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

展开真题答案与圆规等长关系

选A。先核对圆规带来的长度：O′C′＝OC，O′D′＝OC＝OD，C′D′＝CD；三个对应边分别相等。

学过三角形全等后，可用三边分别相等判定△C′O′D′与△COD全等，再得到对应角相等。当前只需看懂：每个等长关系来自明确的圆心和张口，而不是图看起来相同。

出处：2024年北京市中考数学原卷扫描，第2页第7题。复用项目已对照原卷核验的第7题及题图；它检查等长复制与后续全等依据，不用它代替本题的中点、三倍与线段差推理。

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