第2题 · 等式成立，就一定是中点吗

题目

点 C 在线段 AB 上，下列条件不能确定点 C 是线段 AB 中点的是（　　）

A. AC＝BC　　　　B. AC＋BC＝AB

C. AB＝2AC　　　　D. BC＝1/2AB

答案：B。 C把AB分成两小段，它们的和就是AB；还要两段相等，C才是中点。

题干已经给了位置，还缺两段相等

中点要满足两件事：C在线段AB上，而且AC＝BC。

AB＝10

AC＝5

BC＝5

图中左右各5，所以这个C是中点。这是为了讲解补画的示例，原题没有图，也没有给AB的具体长度。

题干已经告诉我们C在线段AB上。接下来判断每个选项能否推出AC＝BC。

先试一个偏离中点的C

我们要检查的是“能不能确定”。只要找出一个符合某项条件、却不是中点的C，就足以否定这一项。

选AB＝10，让AC＝2。因为C在线段AB上，另一小段BC＝10−2＝8。

AB＝10

AC＝2

BC＝8

2＋8＝10，满足B项；2≠8，C却不是中点。所以B项不能确定C是中点。

这里用到的“反例”，就是一个符合给定条件、却不符合所说结论的例子。一个正确反例就足以说明“不能确定”。

为什么换一个C，B项仍可能成立

再让AC＝4，这时BC＝6，4＋6仍是10。

AB＝10

AC＝4

BC＝6

一般理由来自题干的位置关系：C在线段AB上，AC与BC正好拼成AB，所以AC＋BC＝AB。

这个关系只说两段怎样合成整段，没有要求它们一样长。刚才的两个数值例子帮助观察；“正好拼成AB”才是这条相加关系一直成立的依据。

A项：定义需要的两件事已经齐全

A项给AC＝BC，题干还给C在线段AB上。两段相等，C就在正中间，所以能确定。

注意：“C在线段AB上”也要一起用。中点的定义不只是一条长度等式。

C项：整段2份，减去1份还剩1份

C项给AB＝2AC。把AC看成1份，整段AB就是2份。

C项：AB＝2AC。

BC＝AB−AC

＝2AC−AC

＝AC。

整段有2份AC，减去1份，另一段也剩1份。

因为C在线段AB上，BC＝AB−AC。代入AB＝2AC：

另一段也等于AC，所以AC＝BC，能确定中点。这是在说明一般关系，不依赖图中恰好选了全长10。

D项：已知一半，减出来的也是一半

D项给BC是AB的一半。C在线段AB上，所以AC＝AB−BC。

D项：BC是AB的一半。

AC＝AB−BC。

整段减去一半，还剩一半，所以AC＝BC。

整段减去一半，还剩一半，所以两段相等，也能确定中点。

回到选项，分清两种判断

选项	能否确定中点	理由
A：AC＝BC	能	与题干的位置条件合起来，正是定义
B：AC＋BC＝AB	不能	点偏离中点时也成立，2与8就是反例
C：AB＝2AC	能	BC＝AB−AC＝AC
D：BC是AB的一半	能	另一段也等于AB的一半

原题问“不能确定”，选第2项B。

给了AC＝3，就一定平分了吗

保持AC＝3。先取AB＝6，再把AB改成10。

同样AC＝3，保留同一比例尺：

AB＝6

AC＝3

BC＝3

AB＝6时，AC＝BC，C是中点。

AB＝10

AC＝3

BC＝7

AB＝10时，AC≠BC，C不是中点。

AB＝6时，BC＝3，两段相等；AB＝10时，BC＝7，两段不等。

AC＝3可以告诉我们C离A多远，但它是不是中点，还要看全长。原题没有给定全长，不能把“位置知道了”和“平分了”当成同一件事。

先自己判断：

1. 把B项加上“AC＝3”，在AB全长未知时，能确定C是中点吗？若另给AB＝6呢？
2. C恰好在中点时，B项也成立。这能说明B项足以确定中点吗？

展开自测答案与理由

1. 全长未知时不能。AB＝10、AC＝3给出一个反例；若另给AB＝6，就有BC＝6−3＝3，此时能确定。
2. 不能。它还容得下AC＝2、BC＝8这样的非中点位置。要确定中点，符合条件的C都必须平分AB。

真题迁移：中点把哪一段平分

展开真题答案与理由

答案：4。 C是AB的中点，所以BC＝AC＝2 cm。AB＝AC＋BC＝2＋2＝4 cm。

这里先用“中点”得到两段相等，才能由一小段求出全长。只知道C在线段AB上，还不能把AC直接乘2。

题头、完整题干与A—C—B图已重新核对，复用项目已核验的2022年广西桂林中考数学原卷公开预览第1、3页。公开预览为原卷文本重排版，本题无选项；图按题意重绘。它直接检验中点“在线段上且平分”的含义。

下次先写出位置条件和“两段相等”。找“不能确定”，用一个合格反例；说明“能确定”，则用定义或一般关系推出平分。

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