第4题 · C有两种位置，MN为什么都为5 cm

题目

已知线段 AB＝10 cm，C 是直线 AB 上一点，BC＝4 cm，若 M 是线段 AC 的中点，N 是线段 BC 的中点，则线段 MN 的长度是________cm。

答案：MN＝5 cm。 M、N各取一半；C在中间就相加，在B右侧就相减，两次都得到AB的一半。

只需先会两件事：中点把一条线段平分；在线段上，相邻两段的长度相加等于全段。

第一步：从B向左右各量4 cm

题目写的是“直线AB”，C可以在AB外。因为BC＝4 cm，我们可以从B向左量4 cm，也可以向右量4 cm。

这两张图表示两种可能，每张图里各有一个C。两张图的A、B位置和比例尺相同。

C会在A左边吗？那样BC就会大于AB的10 cm，和BC＝4 cm矛盾。因此本题只有上面两种情形。

C在中间：MC与CN相接

AC＝10−4＝6 cm。M平分AC，所以MC＝6÷2＝3 cm。

N平分BC，所以CN＝4÷2＝2 cm。M、N分居C两侧，从M到N正好经过C。

$$\begin{aligned}MN&=MC+CN\\&=3+2\\&=5\text{ cm}.\end{aligned}$$

C在B右侧：从MC里扣去NC

AC＝10＋4＝14 cm。M平分AC，所以MC＝14÷2＝7 cm。

N平分BC，所以NC＝4÷2＝2 cm。完整点序是A—M—B—N—C：N在M、C之间，MC包含MN和NC。

$$\begin{aligned}MN&=MC-NC\\&=7-2\\&=5\text{ cm}.\end{aligned}$$

为什么两种情形都得到一半

两次都用了中点定义，所以都可以先算两条原段的和或差，再除以2。

中间：AC＋BC＝AB。

$$\begin{aligned}MN&=\frac{AC}{2}+\frac{BC}{2}\\&=\frac{AC+BC}{2}\\&=\frac{AB}{2}.\end{aligned}$$

外侧：AC−BC＝AB。

$$\begin{aligned}MN&=\frac{AC}{2}-\frac{BC}{2}\\&=\frac{AC-BC}{2}\\&=\frac{AB}{2}.\end{aligned}$$

两次的括号里都还原成AB，因此MN＝10÷2＝5 cm。理由来自中点定义和相加、相减的关系，两个数值例子只是帮助核对。

选读：C在更左边，为什么也保留一半

这是改了BC后的情形，原题没有这个落点。

若点序为C—A—B，CB＝CA＋AB。两段都从C开始：CM＝CA÷2，CN＝CB÷2。

因此MN＝CN−CM＝（CB−CA）÷2＝AB÷2。加上正文的两种位置，直线上的非退化情形就都说明了。

自测：改变长度或中点条件

AB改为12 cm，BC仍为4 cm，两个中点定义保留。两种位置下MN各是多少？请说明加减关系。

展开答案与理由

两种都是6 cm。中间时AC＝8 cm，MN＝（8＋4）÷2＝6 cm；外侧时AC＝16 cm，MN＝（16−4）÷2＝6 cm。

两种情形都先还原AB，再取一半，所以AB改为12 cm，MN就变为6 cm。

再改一个条件：保持原题C在AB中间，但只说M在AC上，不说M是中点。MN一定为5 cm吗？

展开判断与反例

不一定。仍取AC＝6 cm、CN＝2 cm，若AM＝2 cm，则MC＝4 cm。

这时MN＝MC＋CN＝4＋2＝6 cm。MC没有取AC的一半，刚才的一半关系就不能照用。

真题回查：全段与一半

这道题直接检查本题两次用到的中点定义；双中点的相加、相减理由仍看正文。

（2022·广西桂林·第12题）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2 cm，则AB＝______cm．

展开真题答案与解析

4 cm。C是AB的中点，所以AC＝CB＝2 cm；AB＝AC＋CB＝2＋2＝4 cm。

也可以由AB＝2AC求出。本题给一半求全段，原题则先由全段求一半。

出处：2022年桂林市中考数学完整原卷文本复刻，第3页第12题。已对照完整预览的题干和图核验；图按题意重绘。

下次遇到同一直线上的中点题，先画清点序，找出哪些半段能拼成所求；再决定相加还是相减。使用“一半”结论前，检查两段是否共用端点、中点条件是否仍保留。