第5题 · 直线上两种位置，PQ为6或2 cm

题目

已知点 B 在直线 AC 上，AB＝4 cm，BC＝8 cm，P，Q 分别是 AB，BC 的中点，则线段 PQ 的长度是________cm。

答案：PQ＝6 cm或2 cm。 P、Q分居B两侧时用2＋4；在B同侧时用4−2。

这一题练习：画全合法位置，再根据点序决定相加还是相减。先会中点把一段平分，以及相邻两段拼成全段即可。

第一步：从B左右各量4 cm

题目写的是“B在直线AC上”，B可以在线段AC外。

先画BC＝8 cm，把C画在B右边。整张图左右翻转，线段长度仍相同，所以只需保留这一种画图方向。

AB＝4 cm。从B向左量4 cm，能标出一个A；向右量4 cm，也能标出一个A。每张图只表示一种可能。

B在A、C之间：PB＋BQ

P平分AB，所以PB＝4÷2＝2 cm。Q平分BC，所以BQ＝8÷2＝4 cm。

完整点序是A—P—B—Q—C。从P到Q经过B，两小段正好接成PQ。

$$\begin{aligned}PQ&=PB+BQ\\&=2+4\\&=6\text{ cm}.\end{aligned}$$

A在B、C之间：BQ−BP

P、Q仍分别是中点，所以BP＝2 cm，BQ＝4 cm。

此时BA也为4 cm，A、Q都在B右边4 cm处，A与Q重合。这两个名字要写在同一个点上。

BQ包含左边的BP和右边的PQ。要求PQ，就从BQ中扣去BP。

$$\begin{aligned}PQ&=BQ-BP\\&=4-2\\&=2\text{ cm}.\end{aligned}$$

为什么没有第三种长度

若C夹在A、B之间，就有AB＝AC＋CB。这样AB会大于BC的8 cm，与AB＝4 cm不符。

两种合法情形已经算全，因此答案是6 cm或2 cm。左右翻转只会换图的朝向，不会增加新的长度。

一般关系：PQ是AC的一半

P、Q所在的两条线段共用B，它们各取一半。

B在A、C之间时，AB＋BC＝AC：

$$\begin{aligned}PQ&=\frac{AB}{2}+\frac{BC}{2}\\&=\frac{AB+BC}{2}\\&=\frac{AC}{2}.\end{aligned}$$

A在B、C之间时，BC−AB＝AC：

$$\begin{aligned}PQ&=\frac{BC}{2}-\frac{AB}{2}\\&=\frac{BC-AB}{2}\\&=\frac{AC}{2}.\end{aligned}$$

本题两张图的AC分别为12 cm和4 cm，取一半便分别得到6 cm和2 cm。一般理由来自中点定义和点序，图帮助我们看清用和还是差。

自测一：AB改6 cm，Q还与A重合吗

BC仍为8 cm。先求两种位置下的PQ，再说明同侧图中的Q是否还与A重合。

展开答案、两图与理由

P平分AB，PB＝3 cm；Q平分BC，BQ＝4 cm。

答案为7 cm或1 cm。同侧时BA＝6 cm，BQ＝4 cm，Q不再与A重合。

原题的重合来自4恰好是8的一半；改变长度后，要重新检查，不能把重合当成额外条件。

自测二：把“直线AC”改成“线段AC”

其他条件仍为AB＝4 cm、BC＝8 cm，PQ还会有两个答案吗？

展开判断与理由

只剩6 cm。在线段AC上，且AB、BC均大于0，B就在A、C之间，所以PQ＝PB＋BQ＝2＋4＝6 cm。

线段包含两端点；这里是两条正距离排除了端点。不能只背“线段上的点一定在内部”。

真题回查：由一半求全段

这道题检查本题两次用到的中点定义；两种位置的分类理由仍看正文。

（2022·广西桂林·第12题）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2 cm，则AB＝______cm．

展开真题答案与解析

4 cm。C是AB的中点，所以AC＝CB＝2 cm，AB＝AC＋CB＝4 cm。

本题从4 cm、8 cm的整段求一半；真题反过来，由一半求整段。

出处：2022年桂林市中考数学完整原卷文本复刻，第3页第12题。题干和图已逐项核验，图按题意重绘。

下次遇到“共用一个端点的两条线段，各取一个中点”，先画清点序。中点在共用点两侧用和，在同侧用差；再核对所有给定距离，保留全部合法答案。