第3题 · 圆规截出的两段，怎样拼满CD

题目

如图 4-1-8，点 C，D 是线段 AB 上两点（CD＞AC，CD＞BD），用圆规在线段 CD 上截取 CE＝AC，DF＝BD，若点 E 与点 F 恰好重合，AB＝10，则 CD 的长度是________。

答案：CD＝5。 圆规截出的两段在同一点接上，合长等于CD；换回AC、BD后，整条AB就是两个CD的长度。

圆规搬的是长度，张口保持不变

原图中，A、C、D、B依次在同一直线上。C、D都在AB内部，AB由AC、CD、BD三段组成。

“在线段CD上截取CE＝AC”的动作是：

1. 用圆规量AC，记住两脚之间的张口。
2. 保持张口，把针脚放到C。
3. 在CD这一侧画弧，落到线段上的点叫E。

针脚在C，铅笔脚离针脚的距离仍是AC，所以CE＝AC。圆规只把长度搬过去，A、C、D、B的位置都不变。

接着重新量BD，把针脚放到D，向C这一侧画弧，截得点F。

同样，DF＝BD。题目给CD＞AC、CD＞BD，所以两次截取都落在CD内部。

E、F重合，为什么就能写加法

题目说E、F恰好重合，两个名字对应同一个点。从C走到这个点，是CE；再走到D，是DF。

这两段刚好接满CD，中间没有空隙，也没有重复的一段，所以：

第二行用了刚才的两次等长截取。重合把“截得的两段”连成了CD，圆规则把它们换回AC、BD。

把外侧两段接起来，与CD对照

AC在CD的左边，BD在CD的右边。它们在原图中没有挨着；为了比较总长，我们另画两条等长比较条，把它们首尾相接。

AC比较条对准CE，BD比较条对准DF。因为E、F是同一点，两条比较条刚好接满CD。

原题图没有增加线段。比较条只是帮助看清：AC＋BD＝CD。

从A走到B，整段就是两个CD

沿原图的点序，从A到B，要依次经过AC、CD、BD。

外侧两段的和等于CD，中间本来就有一个CD，所以整段共有两个CD的长度。代入AB＝10：

$$CD=10\div2=5.$$

这条一般关系来自截取和重合，不依赖图上某一段看起来多长。

重合处是否一定是CD中点

取一个符合题意的验算例：AC＝2，CD＝5，BD＝3。

AB＝10

AC＝2

CD＝5

BD＝3

CE＝2

DF＝3

EF＝0

逐项检查：

• 2＋5＋3＝10，整段AB符合题意。
• CE＝AC＝2，DF＝BD＝3，两次截取都等长。
• 2＋3＝5，两个落点恰好接在同一点。
• 5＞2，5＞3，也符合原题的两个限制。

但CE＝2、DF＝3，两段不相等。E、F重合，仍没有把CD平分。

改为空出一段，还能直接把AB除以2吗

先自己判断：AB仍是10，两次截取仍保持CE＝AC、DF＝BD；现在E在F左边2，即EF＝2。CD是多少？准备把哪几段相加？

展开自测答案与理由

答案：CD＝6。 现在从C到D，依次经过CE、EF、FD，中间空出的2也要算进去。

AB＝10

AC＝2

CD＝6

BD＝2

CE＝2

DF＝2

EF＝2

CD＝AC＋2＋BD，所以AC＋BD比CD少2。原来整段AB由“外侧两段＋CD”组成，给AB补上2，才得到两个CD。

$$AB+2=2CD$$$$CD=(10+2)\div2=6.$$

验算可取AC＝BD＝2、CD＝6，整段2＋6＋2＝10；两个截点间恰好空出2，且6大于两条外侧段。

进入探索时，先保持AB和EF不变，只重新分配AC、BD，看看CD是否改变；再改变重合条件，判断相加关系哪里要改。

真题迁移：看圆规怎样留下等长关系

下面这道题的直接联系是“保持张口，把一段长度截到另一处”。原卷还考三角形全等，属于后续知识，可选学：三组对应边分别相等，能判定两个三角形全等。先读两次圆规的半径，写出等长关系即可。

展开真题答案与等长关系

答案：A。

第（1）步以O为圆心画同一条弧，得到OC＝OD。第（2）步保持OC的张口，以O′为圆心画弧，得到O′C′＝O′D′＝OC；再保持CD的张口，以C′为圆心画弧，得到C′D′＝CD。

于是△C′O′D′与△COD的三组对应边分别相等，符合A项的判定。全等后，对应角相等；C、D和C′、D′又分别落在所作两角的边上，所以得到题目所说的两角相等。

本课先带走圆规的这一步：圆心换了，张口保持哪一段，就截出与哪一段相等的长度。全等判定之后再系统学习，本题求CD不需要它。

出处：2024年北京市初中学业水平考试数学原卷扫描件，第2页第7题。已重新核对完整三步作法、两幅图和四个选项，复用原题与按原卷重绘的图。

下次遇到截取与重合，先写圆规保留的两条等长关系，再沿原图点序把线段加完整。两段重合接满时可以替换；有空隙时，先把空隙补进去。

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