第8题 · 按端点对计数，两端折半求中点距离

题目

如图4-1-11，已知B，C两点在线段AD上。

（1）图中共有______条线段。

（2）若AB＞CD，

①比较线段的长短：AC______BD（填“＞”“＜”或“＝”）；

②如图4-1-12，若AD＝20，BC＝16，M是AB的中点，N是CD的中点，求线段MN的长度。

答案：（1）6条；（2）① AC＞BD；② MN＝18。计数时固定一个端点；比较时找共同的BC；求MN时只把两端折半，中间的BC完整保留。原题没有标长度单位，答案不另加“cm”。

先确认两件事：一条线段由两个不同端点确定，AB和BA是同一条；中点把所在的线段分成相等的两半。图中点序是A—B—C—D，不能只凭“都在一条直线上”就省略点序。

（1）按端点登记，跨过中间的点也算

图中画出了连续的AD。选A、C作端点，得到的AC虽跨过B，仍是已经画出的一条线段；AD、BD同理。

固定的首个端点	只与后面的点配对	条数
A	AB、AC、AD	3
B	BC、BD	2
C	CD	1
D	后面没有新端点	0

A为首个端点

AB、AC、AD

B为首个端点

BC、BD

C为首个端点

CD

方块是描线游标，圆点仍是原来的四个点。共3＋2＋1＝6条；BA与AB只算同一条。

为什么不重、不漏：每条线段有一对端点，把点序中较前的端点作为登记组，就只会登记一次。反过来写BA并没有得到新线段；只数相邻的AB、BC、CD则会漏掉AC、AD、BD。

因此共有3＋2＋1＝6条。

（2）① 两条都含BC，为什么仍能比较

题目给出AB＞CD。先把所比较的两段写成已知小段之和：

$$\begin{aligned}AC&=AB+BC,\\BD&=BC+CD.\end{aligned}$$

给AB、CD各添加同一长度BC。AB原来较长，两条添加的部分相等，所以添加以后仍较长。

下面是比较长度的副本，原图不动。BD＝BC＋CD，也等于CD＋BC。

$$AB+BC>CD+BC.$$

所以AC＞BD，填“＞”。下方比较条把BD写成CD＋BC，只是调换两段长度相加的顺序，没有改变原图的点序。

（2）② MN不是整条AD的一半

M是AB的中点，N是CD的中点，完整点序是A—M—B—C—N—D。从M走到N，经过B、C，所以：

$$MN=MB+BC+CN.$$

中点给出MB＝1/2AB、CN＝1/2CD。只有两头各取一半，BC没有减半。

AB、CD各自的长度未知，但AD由AB、BC、CD组成。先从整条中扣去中间的一段：

$$\begin{aligned}AB+CD&=AD-BC,\\&=20-16=4.\end{aligned}$$

移动的是BC的比较条，原图的B、C没有移动。

两头各取一半，相加就是两头合长的一半：

$$MB+CN=\frac{AB+CD}{2}=\frac42=2.$$

再加回完整的BC：

$$MN=2+16=\boxed{18}.$$

下方三条是原线段的长度副本。虚线只是起点参照，不是另外增加的线段。

AB、CD各自怎样分配，不影响这个结果：只要仍满足原点序和两中点条件，MB＋CN总是4的一半。图中的位置用于说明关系，不把示意图上量得的数当作已知。

带走的关系，以及它什么时候能用

三问各有可以执行的动作：计数时列端点对；比较时拆出共同段；求中点距离时先画完整点序，再看哪些半段首尾相接。

把刚才的推理保留下来：

$$\begin{aligned}MN&=\frac{AD-BC}{2}+BC,\\&=\frac{AD+BC}{2}.\end{aligned}$$

其中AD−BC对应两端AB＋CD，除以2对应两端的半段，最后的＋BC对应中间完整的一段。这解释了为什么不能直接用20÷2。

该式需要A—B—C—D的点序，以及M、N分别平分AB、CD。AB＞CD是①比较大小时用到的条件；②无需单独求AB与CD。中点换到别的线段上，必须重新判断。

自测：保持20与16，只改变中点所在线段

改成M是AC的中点，N是BD的中点，其余条件不变。MN还能照搬18吗？先在纸上重新标中点，说明准备怎样拆分，再展开。

展开新中点图与理由

不能。先比较两个新中点到A的距离，避免把旧点序照搬过来。

M平分AC，所以2AM＝AC；N平分BD，所以2BN＝BD，而AN＝AB＋BN。因此：

$$\begin{aligned}2AM&=AB+BC,\\2AN&=2AB+BC+CD.\end{aligned}$$

两式相减，共同部分抵消，只留下两端AB与CD：

$$\begin{aligned}2AN-2AM&=AB+CD,\\&=20-16=4.\end{aligned}$$

AN比AM长，所以N在M右侧；两倍距离的差为4，实际距离的差就是2。故MN＝AN−AM＝2。

原题的18来自MB＋BC＋CN；新中点已经不在原位置，必须重新拆段。不能只看到“两点都是中点”就套原式。

真题回查：中点定义

下面的真题直接检查本题用到的“全段与一半”；本题两头折半、中间保留的理由仍由上面的完整点序推导。

（2022·广西桂林·第12题）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2 cm，则AB＝______cm．

展开真题答案与理由

4 cm。C是AB的中点，AC＝CB＝2 cm，所以AB＝AC＋CB＝4 cm。

出处：2022年桂林市中考数学完整原卷文本复刻，第3页第12题。复用项目已经逐字、逐图核验的原题。

配对计数的真题迁移（概率部分选学）

2024·江苏苏州·第21题（6分）。这题用四张不同书签组成配对，检查是否计先后。完整保留原题两问；概率是后续选学，先理解“等可能结果中，符合要求的份数÷总份数”。

一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀。

春

夏

秋

冬

（1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______；

（2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率。（请用画树状图或列表等方法说明理由）

展开真题答案与完整列表

（1）四张中只有一张“夏”，概率为1/4。

（2）按第一次、第二次列表，同一张不能再抽：

先↓后→	春	夏	秋	冬
春	—	春、夏	春、秋	春、冬
夏	夏、春	—	夏、秋	夏、冬
秋	秋、春	秋、夏	—	秋、冬
冬	冬、春	冬、夏	冬、秋	—

共有12种等可能的有序结果，符合要求的是“春、秋”“秋、春”两种，所以概率为2/12＝1/6。

如果只登记最终选了哪两张，不计先后，就得到春夏、春秋、春冬、夏秋、夏冬、秋冬六对；每对恰好对应两种抽取顺序，因此也可算1/6。就像AB与BA不重复算线段，必须先确定计数对象是否区分顺序。

原卷出处：苏州市教育局发布的2024年中考试题及参考答案。复用已核验的数学卷第4页第21题及四张书签题图。

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