第6题 · 射线上截取，先查BC的两个方向

题目

如图 4-1-9，已知线段 m，n，射线 AM。如果按如下步骤进行尺规作图：①在射线 AM 上顺次截取 AD＝DB＝m；②在射线 AM 上截取 BC＝n，那么 AC 的长为________。

答案：C在B右侧时，AC＝2m＋n；C在B左侧且仍在射线AM上时，AC＝2m−n，须有n≤2m。

原题第①步写了“顺次”，第②步只写“在射线AM上”。因此，第②步不能直接当成“从B继续向右”。

这一题练习：把每次截取翻译成等长关系，找全射线上的合法交点，再判断用和还是差。先会线段相加、相减，以及射线从起点沿一个方向延伸即可。

先分清m与M，再读“顺次”在哪一步

小写m、n表示给定的两条线段长度，均大于0；大写M是射线上的一个点。射线从A出发，经过M还会继续延伸，M不是射线的终点。

①要求顺次截取AD＝DB＝m：先从A截出D，再从D沿同一方向截出B。因此点序为A—D—B。

画弧时，针脚固定的位置是圆心，两脚间的距离就是张口，也叫这段弧的半径。张口不变，弧上的点到圆心的距离就相同。

$$\begin{aligned}AB&=AD+DB\\&=m+m\\&=2m.\end{aligned}$$

图中m＝3、n＝4仅是观察作图过程的演示数值，原题没有给这些数值或m、n的倍数关系。

C在B右侧：两段相接，用加法

针脚放在B，圆规张口取n。在B右侧与射线相交，标出C。

A—D—B—C，从A到C先经过整段AB，再经过BC。

$$\begin{aligned}AC&=AB+BC\\&=2m+n.\end{aligned}$$

m、n都是正长度，向右截取总能落在射线AM上；C也可以超过图中的M，不受M的位置限制。

C在B左侧：先查范围，再用减法

仍以B为圆心、n为半径，向左找交点。如果它落在A与B之间或恰在A上，也属于射线AM。

这时BC占去AB靠B的一部分，剩下的才是AC。

$$\begin{aligned}AB&=AC+CB,\\AC&=AB-BC\\&=2m-n.\end{aligned}$$

演示m＝3、n＝4时，AB＝6，C在A与D之间，AC＝6−4＝2。它与右侧AC＝10的图都满足AD＝DB＝3、BC＝4和C在射线AM上的条件，因此不能漏掉这一类。

左交点什么时候不合法

射线从A开始，向左截出的点不能越过A，所以要比较BC与AB，即比较n与2m。

条件	左交点的位置	处理
n＜2m	A与B之间	合法，AC＝2m−n
n＝2m	与A重合	交点仍属于射线，距离AC＝0；若另要求C≠A，再排除
n＞2m	越过A，落在射线外	不能标为C，只剩右侧的AC＝2m＋n

叉号与左边的虚线只是帮助比较位置，虚线不是原射线向左延伸。不能把n−2m当成原题的另一个答案：那段距离对应的点已不属于射线AM。

自测：多出一句方向条件，会改变什么

把②改为“从B沿射线AM的方向截取BC＝n”，其余条件不变。还会有两个式子吗？再检查：原题取m＝3、n＝3时，左侧交点C与哪个点重合？

展开判断、图与理由

新条件明确从B继续向右，因此只剩AC＝2m＋n。不能把这条新增条件反过来当作原题已有的条件。

原题m＝3、n＝3时，AB＝6。左侧交点到B为3，D到B也为3，方向相同，所以C与D重合，AC＝3。

重合要由距离和方向推出，不要求每个新字母都占据一个新位置。

真题回查：圆规怎样搬运等长线段

下面的完整真题直接用到“保持圆规张口，把一段长度搬到另一处”。当前先找出第（2）步搬运的两条长度；完整答案中的三角形全等是后续选读，不是本题求AC的先修。

（2024·北京·第7题）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法。

（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；

（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；

（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB。

已知角AOB

所作角A′O′B′

上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是

（A）三边分别相等的两个三角形全等

（B）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

（C）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

（D）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

展开真题答案与理由（全等为后续选读）

答案A。第（1）步给OC＝OD；第（2）步保持相同半径，给O′C′＝O′D′＝OC，并以CD为半径得到C′D′＝CD。

于是△C′O′D′与△COD的三组对应边分别相等，按三边相等判定全等，得到对应角相等。原卷的三步作法、两幅图和四个选项均已保留。

本课只借这道题回查圆规保持张口得到等长关系；射线交点的分类与n≤2m的理由仍由正文说明。

出处：2024年北京市中考数学原卷扫描，第2页第7题，已按原卷逐项核验。

下次遇到尺规截取，先写“从哪里截、张口多大、点必须落在哪里”，再画合法位置。最后按线段相接或包含的关系列式，并核对边界条件。