第11题 · 两速度都有效，第三问先查可达范围

题目

如图4-1-14，在一条数轴上，A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足 |a＋2|＋(c−7)²＝0。

原图

备用图

（1） a＝______，b＝______，c＝______。

（2） 点 P 从点 A 出发，以 2 单位长度/s 的速度沿数轴向右匀速运动，点 Q 从点 C 出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点 Q 运动到点 A 时，点 P，Q 停止运动。当 PB＝2PO 时，点 Q 运动到的位置恰好是线段 OA 的中点，求点 Q 的运动速度（注：点 O 为数轴原点）。

（3） 在（2）的条件下，当点P运动到线段OB上时，分别取AP和OB的中点E，F，请问：$\frac{AB-OP}{EF}$的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值。

答案：（1）a＝−2，b＝1，c＝7；（2）Q的速度为16或48/7单位长度/s；（3）在P实际进入OB的那一支上，比值不变，恒为2。

先分清三个量：点P表示的数是它的位置，OP是到原点的距离，t是从同时出发起经过的时间。距离不能直接用带符号的位置代替；停止后，也不能继续套未停止的运动位置。

（1）先算坐标，再画位置

绝对值|a＋2|≥0，平方(c−7)²≥0。两个都不小于0，相加还等于0，就不能有一项大于0，所以各自为0：

$$a+2=0\quad\Rightarrow\quad a=-2.$$ $$c-7=0\quad\Rightarrow\quad c=7.$$

正整数从1开始，0不属于正整数，所以b＝1。于是A在−2，O在0，B在1，C在7；AB＝3，OB＝1，AC＝9。OA中点在−1。

（2）第一处：P在O左侧

从P向右看到O，再到B，所以PB由PO和OB接成，PB比PO多1。题目又给PB是PO的两倍，多出的那一份PO就是1。

$$PB=PO+1=2PO.$$ $$PO=1,\qquad P\text{表示}-1.$$

P从A的−2到−1走1个单位，速度是2，经过的时间为：

$$t=1\div2=\frac12\ \text{s}.$$

同一时刻Q在OA中点−1。从C的7到−1，走过8个单位，所以：

$$v=8\div\frac12=16.$$

t

＝1/2 s

P

＝-1

Q

＝-1

核对本支停止规则：Q要从7到A的−2，共走9个单位，到A才停，用时9/16 s。条件发生的1/2 s＝8/16 s，早于9/16 s。因此PB＝2PO与Q＝−1确实同时发生，16应保留。

第二处：P在O与B之间

这次O、P、B依次排列，OB＝1由OP和PB接成。PB是OP的两倍，所以整段OB一共是三份OP。

$$OB=OP+PB=3OP.$$ $$OP=\frac13,\qquad PB=\frac23.$$

P表示的数为1/3。从A先到O走2个单位，再到P走1/3个单位，共7/3个单位：

$$AP=2+\frac13=\frac73.$$ $$t=\frac73\div2=\frac76\ \text{s}.$$

Q仍是从7走到−1，路程仍为8，这次用时不同：

$$v=8\div\frac76=\frac{48}{7}.$$

t

＝7/6 s

P

＝1/3

Q

＝-1

核对本支停止规则：停止时刻为9÷(48/7)＝21/16 s，晚于7/6 s。此时P＝1/3，PB＝2/3、PO＝1/3，Q＝−1，所以48/7也应保留。

为什么没有第三处

P从A向右走，不会到A左侧。P在O时PO＝0，但PB＝1，不满足PB＝2PO。P到B或B以右时，PB＝OP−OB＜OP，不可能等于2OP。前面分别检查了O左侧和OB内部，各只有一个满足位置，两支已找全。

第（2）问答案是16或48/7单位长度/s。这里的“或”表示两种符合印刷条件的运动方案，每种都使用自己的停止时刻。

（3）先查P实际能否到OB

速度16这一支在9/16 s停止，此时P表示的数为：

$$-2+2\times\frac9{16}=-\frac78.$$

t

＝9/16 s

P

＝-7/8

Q

＝-2

P仍在O左侧，以后两点也都不动。因此这一支没有P在线段OB上的时段，不在这支上声称已经演示了第（3）问。

速度48/7这一支，P在1 s到O，直到Q在21/16 s到A时才停止。停止时P表示：

$$-2+2\times\frac{21}{16}=\frac58.$$

t

＝21/16 s

P

＝5/8

Q

＝-2

5/8小于B表示的1，所以P尚未到B。运动尚未结束时，第（3）问对应1≤t≤21/16，P经过的是OB中从0到5/8的部分。停止后位置不再变化，比值也保持停止时的结果；不能把继续经过的时间算成继续走过的路程。

把两个中点的位置写出来

设P表示的数为p。位置的平均数是中点表示的数：E平分AP，F平分OB，所以：

$$E\text{表示}\ \frac{-2+p}{2}.$$ $$F\text{表示}\ \frac{0+1}{2}=\frac12.$$

P

＝1/3

E

＝-5/6

F

＝1/2

AB−OP

＝8/3

EF

＝4/3

(AB−OP)÷EF

＝2

本题这段内0≤p≤5/8，E在原点左侧，F在原点右侧。EF由较大的位置数减较小的位置数：

$$EF=\frac12-\frac{p-2}{2}.$$ $$EF=\frac{3-p}{2}.$$

P在O右侧或恰好在O时，OP＝p；AB＝3，因此分子AB−OP＝3−p。它恰好是EF的两倍：

$$AB-OP=2EF.$$ $$\frac{AB-OP}{EF}=\boxed{2}.$$

这里p≤5/8，3−p大于0，EF不会为0，除法成立。比值不变来自同一个3−p被取了一半，不是看几幅图恰好都得到2。

P

＝0

E

＝-1

F

＝1/2

AB−OP

＝3

EF

＝3/2

(AB−OP)÷EF

＝2

P

＝5/8

E

＝-11/16

F

＝1/2

AB−OP

＝19/8

EF

＝19/16

(AB−OP)÷EF

＝2

这个几何理由对P在OB上的位置成立；本题运动实际只走到5/8。离开题目讨论的范围，要重新读距离和点序，不能把OP一律写成带符号的p。例如P表示−1时，OP＝1，EF＝2，(AB−OP)÷EF＝(3−1)÷2＝1，不是2。

自测：把(c−7)²改为(c−5)²

在第一问的定位条件中，只将(c−7)²改为(c−5)²，于是C从7改为5。A、B及P的速度都不变，OA中点也没变。P满足PB＝2PO的两个时刻会改变吗？Q的两个候选速度与停止时刻各是多少？先说明哪一段路程改变，再计算。

展开新图与完整核对

P的运动和PB、PO没有改变，两个时刻仍是1/2 s与7/6 s。Q从5到−1只走6个单位，因此候选速度为12与36/7。

t

＝1/2 s

P

＝-1

Q

＝-1

t

＝7/6 s

P

＝1/3

Q

＝-1

从C的5到A的−2共7个单位，不能沿用原来的9，更不能写成11。停止时刻分别为7÷12＝7/12 s、7÷(36/7)＝49/36 s，都晚于各自的条件时刻。12这一支P停在−5/6，未进OB；36/7这一支P停在13/18，进入OB后中点比值仍为2。

真题回查：绝对值与中点两个基础关系

下面两道完整原题分别回查绝对值和中点定义；它们不覆盖本题全部动点、停止与比值推理。相关动点综合真题尚未核实，暂缓收录，不用基础题冒充综合题。

2024·安徽·第1题

1. −5 的绝对值是

A. 5　　B. −5　　C. $\frac15$　　D. $-\frac15$

展开安徽真题答案与理由

答案A。−5到原点的距离为5，|−5|＝5。绝对值不小于0，是主例第一问所用的基础关系。

出处：2024年安徽省中考数学原卷扫描，第1页第1题。沿用已逐字核验的完整题干与四个选项；原题无图。

（2022·广西桂林·第12题）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2 cm，则AB＝______cm．

展开桂林真题答案与理由

答案4。C是AB中点，AC＝CB＝2 cm，AB＝4 cm。本题只检查全段与一半的关系；主例的点名、长度及实际可达范围仍须按自己的条件计算。

出处：2022年桂林市中考数学完整原卷文本复刻，第3页第12题。复用已经逐字、逐图核验的原题与证据。