第5题 · 尺规作和角：先β，再相邻接α
原卷要求用尺规作出∠AOB＝∠β＋∠α，不是求一个数。以相同半径和给角交点间距先作∠AOC＝∠β，再从OC另一侧作∠COB＝∠α，两块相邻且内部不重叠，保留成图与作图痕迹。
题目
如图4-2-20，已知∠α、∠β，作∠AOB，使∠AOB＝∠β＋∠α。（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
答案是一张成图：∠AOB＝∠β＋∠α。原题没有给出具体度数，不需要算一个数。
题目要求“不写作法，保留作图痕迹”，上面的图可作为作答样式。下面的分步讲解用于学习怎样画；作答时按要求留下成图与痕迹即可。
α读“阿尔法”，β读“贝塔”。文中仍用原来的α、β指认两个给角。β是给角名称，大写B是新作图中的点名，二者不同。C是本课添加的辅助交点；A、O、B按所求角命名。
需要用到：尺规作一个角等于已知角的方法，以及相邻角的加法。直尺用来连线，圆规用来保持半径和两交点间距；不靠量角器读出度数再作图。
第一步：固定OA和共同半径
先取O、A，作射线OA。以O为圆心、OA长为半径，在OA上方画足够长的一段圆弧。后面复制两个给角时，均保持这个半径。
圆弧画得足够长，是为了接下来的两次取交点；这一步不需要提前知道最终B的位置。
第二步：先把β作成∠AOC
在给定的∠β中，用同样半径截两条边，保留两个交点之间的距离。
再以A为圆心、这段交点间距为半径作弧，与O处圆弧交于OA上方的C。作射线OC。
两个顶点截出的半径相同，两个交点间距也相同，按作等角的方法：
A、C都在O处同一圆弧上，所以OA＝OC；AC是从给角β搬来的两交点间距。C既是圆弧交点，也直接用来给新射线OC命名。
第三步：从OC另一侧接α
现在的起始边要换成OC。用相同半径在给定的∠α中截两边，保留这一回两个交点之间的距离。
以C为圆心、刚才保留的距离为半径作弧，在O处圆弧上取与已有β内部不重叠的交点B。作射线OB。
同样的作等角方法给出：
这次OC＝OB，CB是从给角α搬来的交点间距。两次要取的间距分别来自β和α，不能把它们混用。
为什么整个角正好是和角？
从OA走到OC，再从OC继续走到OB，依次经过两块角。它们共用OC，内部不重叠，所以没有重复或漏掉的部分。
图中的圆弧和交点，是两次作等角留下的依据。成图是答案；不能把示意图量出来的数值当成题目给定的度数。
回看：两次复制怎样相邻拼接
方框表示固定针尖，菱形表示笔尖，蓝虚线表示保持的圆规开口。新交点随作图出现；作射线时从O经过交点继续向前。给角局部与目标局部分开观察，使用同一半径。
探索中的角度由你自行选择，只用于观察条件变化。原题没有这些数值条件，作答仍按给出的两个角进行尺规复制。
自测：先判断相邻与重叠
①交换先后：先作α，再相邻作β，最后整个∠AOB的大小会改变吗？辅助射线OC一定还在原位置吗？
②重复起始边：两次都从OA开始，在同一侧把两角叠着作，最外面的角一定是β＋α吗？
展开两问答案与理由
①只要两块角相邻、内部不重叠，整个角仍是α＋β＝β＋α，最终OB的方向保持。α、β不相等时，先作哪块会改变分界OC；两角相等时，OC也可以保持同一位置。
②不能这样直接相加。同侧重复从OA起时，小角被覆盖在大角里，最外面的角只是较大的那一块；没有把两块相邻拼成一个完整和角。
可迁移的检查：先固定所求的顶点和一条边，复制后把第二块接到新边另一侧，再检查共边与内部是否重叠。若换成更大的给角，还要说明所作角的范围；本页按给角图示作普通凸角，和小于平角。
配套真题：2024·北京·第7题
原卷三步正是本题每次复制角使用的“同半径、同交点间距”流程。正式三角形全等依据可选看。
（2024·北京·第7题）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法。
（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；
（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB。
已知角AOB
所作角A′O′B′
上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是
（A）三边分别相等的两个三角形全等
（B）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
（C）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
（D）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
展开真题答案与说明
答案A。OC＝OD，O′C′＝O′D′＝OC，C′D′＝CD；△C′O′D′与△COD三条对应边分别相等，采用选项A的全等依据，得到所作角与原角相等。
本题把这样的作等角过程连续用两次，再用相邻角加法。具体字母按各题原图读取。