第1题 · 弧MN：针尖在E，开口取DC

题目

如图 4-2-16，用尺规作出 ∠OBF＝∠AOB，作图痕迹弧MN 是（　　）。

A. 以点 B 为圆心，OD 为半径的圆弧

B. 以点 B 为圆心，DC 为半径的圆弧

C. 以点 E 为圆心，OD 为半径的圆弧

D. 以点 E 为圆心，DC 为半径的圆弧

答案：D。弧MN以点E为圆心，DC长为半径。

先在原图找到M、N所标的短弧。F是两弧交点，M和N是这段弧的端点。题目问的是这段痕迹的圆心和半径。

需要用到：圆规针尖固定的位置是圆心；两脚张开的距离是半径；同一圆弧上的点到圆心的距离相等。

先看O处的弧：确定共同半径

以O为圆心的同一圆弧分别经过C、D，所以OC＝OD。这两个点是在原角两条边上取到的。

图中的虚线DC只是帮助量取两点间距离。OD与DC含义不同：OD从圆心到弧上，DC连接两个交点。

再看B处的大弧：开口保持为OD

新角∠OBF的顶点是B，起始边是BO。针尖放到B，使用与O处相同的圆规开口，在BO上取到E。因此BE＝OD。

F也在这段以B为圆心的弧上，所以BF与BE相等。到这里，原角与所作角使用相同的半径。

最后看弧MN：先量DC，再把针尖放到E

还缺哪一项对应关系？两条边上所取两点之间的距离，也要保持。先把圆规两脚对准D和C，量取DC。

保持这个开口，把针尖移到E。另一脚画出的圆弧经过F，因此EF＝DC。它就是被问的弧MN。

两种取长分工如下：

痕迹	圆心	半径取长
O处的原角弧	O	OD，也等于OC
B处的大弧	B	与原弧相同的OD，也等于BE、BF
被问的弧MN	E	DC，也等于EF

所以选择D：以点E为圆心、DC长为半径的圆弧。M、N标出这段弧的两端；F才是两弧交点，射线BF经过F并继续延伸。

看圆规怎样量取、移针和作弧

方框表示针尖，菱形表示笔尖，蓝虚线表示两脚距离。回看作弧时，针尖固定；量取DC后移针到E时，两脚距离保持不变。原图痕迹保留，亮色只是重描当前回看的部分。

带走的方法与自测

判断一段圆弧，先指圆心，再指取长的线段；沿着对应作图步骤核对。不能只按“第几段弧”或弧看起来大、小来选。

自测：若改问“经过C、D的原角圆弧”，圆心是哪个点，半径可以用图中的哪两条线段表示？为什么后面以B为圆心画弧时，还要保持同样的开口？

展开自测答案与理由

圆心是O，半径可以用OC或OD表示，因为C、D在以O为圆心的同一弧上，OC＝OD。

从零作图时，可以先选择适当的开口；一旦C、D取定，这个半径就是OC或OD。后来以B为圆心画弧也保持这个开口，才能得到BE＝BF＝OC＝OD。接着还要量取DC，作为以E为圆心画弧MN的半径。

如果把共同半径调大，C、D以及DC都要按同一原角重新确定。只保留DC而随意改变前两段弧的半径，不能保证仍复制同一个角。

配套真题：2024·北京·第7题

下面的原卷题与本题直接对应：先保持共同半径，再量取两交点间距，作出一个相等的角。选学提示：本题还问到三角形全等的依据；本课先完成圆心和半径辨认，这部分可以以后再学。

（2024·北京·第7题）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法。

（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；

（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；

（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB。

已知角AOB

所作角A′O′B′

上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是

（A）三边分别相等的两个三角形全等

（B）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

（C）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

（D）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

展开真题答案与对应关系

答案A。原角的弧给出OC＝OD；新顶点O′处的弧给出O′C′＝O′D′＝OC；以C′为圆心、CD长为半径的弧给出C′D′＝CD。两边的半径和两点间距都对应相等。

这里“全等”表示两个三角形能完全重合；本题三条对应边分别相等，采用的正是选项A所说的依据。若尚未学过三角形全等，先核对以上三组等长关系即可。

对应本课的动作：原角弧给出共同半径，最后一段以新的交点为圆心、原两交点间距为半径。本课的E、DC，在真题里对应C′、CD，不能按字母位置混用。

原卷扫描PDF（第2页第7题）。复用项目已核验的完整原题、三步作法、两幅图和四个选项；本次已按保存的原卷截图重新核对。