第2题 · 新交点D：先找等角，再拼成56°

题目

如图4-2-17，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，再以点E为圆心，以EF长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD。

若∠AOB＝28°，则∠BOD的度数为（　　）。

A. 28°　　B. 32°　　C. 52°　　D. 56°

答案：D，∠BOD＝56°。

先从所求找缺口：OB到OD之间，原图的OA把它分成两部分。已知其中一部分是28°，还需要知道∠EOD。作图留下的等长关系，正是用来确定它的。

需要用到：同一圆弧上的点到圆心等距；圆规开口保持时，画出的弧半径不变；作等角的方法；相邻角的加法。三角形全等的正式核验放在后面选看，不作为读本题的必要先修。

先把两段弧留下的等长关系写出来

弧①的圆心是O，E、F、D都在这段弧上，所以：

$$OE=OF=OD.$$

第二段弧的针尖固定在E，圆规开口是EF。它经过D，因此：

$$ED=EF.$$

教学图用虚线补出同一个E圆的一段弧，方便观察F与D两个交点。原卷只保留D附近的短痕迹；这不是另加一个圆或新的已知条件。

保持半径和两点间距，就作出了相等的角

看原来的∠EOF与新作出的∠EOD。两边从O截出的半径相同，两个交点之间的距离也相同。按作一个角等于已知角的方法，∠EOD＝∠EOF。

E在OA上，F在OB上，因此∠EOF就是原来的∠AOB，等于28°。于是：

$$\angle EOD=\angle EOF=28^\circ.$$

圆规痕迹给出的理由是“相同半径、相同交点间距”。图形看着相似，只能帮助观察，不能代替这两个关系。

再把两块角接到所求上

从OB逆时针量到OD，要先经过OA。E在OA上，两个相邻的角就是∠BOE与∠EOD。

$$\angle BOD=\angle BOE+\angle EOD,$$ $$\angle BOD=28^\circ+28^\circ=\boxed{56^\circ}.$$

选D。这里两个28°拼成56°，没有超过180°，与所求夹角的范围一致。以后改变角度时，也要重新核对射线次序和取角范围，不能在所有情况下都直接套“乘2”。

另一个交点为什么不能当成新D？

以E为圆心、EF为半径的圆，本来就经过F；它与弧①的另一个交点才是图中的D。如果再次选原有F，作出的射线OF与OB重合，得到的是∠BOF＝0°。

F在OB这条边上，不是原角内部的第三个交点。所以这里不是“D可以随意选在角内部或外部”的问题。原卷已经画出新D的位置，必须照原图判断。

看圆规补弧与两个28°的拼接

回看已有作图时，纸上的O、E、F、D不动。方框针尖与菱形笔尖表示圆规；重描圆弧时开口保持不变。查看∠BOD时，箭头表示量角顺序，射线本身不转动。

选看：用三组对应边严谨核验

已学过三角形全等时，展开对应边核验

把△OED和△OEF按O对O、E对E、D对F来对应：

△OED	△OEF	依据
OE	OE	共用的同一条边
OD	OF	都在以O为圆心的弧上
ED	EF	以E为圆心、EF为半径的弧

共用边是OE；OD和OF分别位于两个三角形中。

OE是两个三角形共用的同一条边；OD＝OF来自弧①，ED＝EF来自以E为圆心的弧。三条对应边分别相等，因此△OED≌△OEF，依据是三边分别相等的两个三角形全等。对应角∠EOD＝∠EOF。

这里的公共边是OE。OD与OF是分别位于两个三角形里的对应边，不能把OD写成公共边。

自测：原角改成40°

若∠AOB改成40°，其余作图步骤不变，∠BOD与∠AOD分别是多少？先说明∠EOD的大小，再写出每个所求角的组成。

展开自测答案与理由

相同的作等角步骤仍给出∠EOD＝∠EOF＝40°。新D仍在OA另一侧，所以∠BOD＝40°＋40°＝80°。

∠AOD的边OA与OE同向，因此它就是∠EOD，等于40°。如果只改变第一段弧的半径，E、F、D会按相同关系重新取点，角的大小仍不改变。

配套真题：2024·北京·第7题

原卷题同样检查尺规作等角留下的对应等长关系，并问三角形全等的依据。先完成本课的等长辨认；未学过全等时，正式依据可以后选学。

（2024·北京·第7题）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法。

（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；

（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；

（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB。

已知角AOB

所作角A′O′B′

上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是

（A）三边分别相等的两个三角形全等

（B）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

（C）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

（D）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

展开真题答案与说明

答案A。原角的圆弧给出OC＝OD；新顶点O′处的弧给出O′C′＝O′D′＝OC；以C′为圆心、CD长为半径的弧给出C′D′＝CD。因此△C′O′D′与△COD三条对应边分别相等，采用选项A所说的全等依据。

它与本课保持的关系一致：两条半径对应相等，连接两交点的线段也对应相等。具体字母按各题读取，本课三角形的共用边仍是OE。

原卷扫描PDF（第2页第7题）。复用项目已核验的完整原题、三步作法、两幅图和四个选项；保存的原卷截图与组件指纹已重新核对。