第3题 · 从A处的100°与65°，读到B处35°

题目

如图 4-2-18，∠DAE＝100°，∠EAB＝65°，根据图中尺规作图的痕迹，可知∠ABC的度数为＿＿＿°。

答案：∠ABC＝35°。

已知数在A处，所求角在B处。先看作图痕迹连接了哪两个角，再把A处的100°和65°接到所求上。

需要用到：同一圆弧上的点到圆心等距；圆规开口保持时半径不变；尺规作一个角等于已知角的方法；相邻角的加减。

先定三条射线的次序

原图AB位于∠DAE内部，从AD经过AB再到AE。∠DAB与∠BAE相邻，合起来是∠DAE。

∠DAE＝100°，∠EAB＝65°；AB位于∠DAE的内部。

∠EAB与∠BAE使用同样的两条边AE、AB，大小相同。因此：

$$\angle DAB+\angle BAE=\angle DAE,$$ $$\angle DAB=100^\circ-65^\circ=\boxed{35^\circ}.$$

这里的减法由AB在大角内部这个位置关系决定。不是看到两个数就相减，也不是先假定AD与BC平行。

再读A处的作图痕迹

本题按课内“作一个角等于已知角”的标准痕迹判读：A处圆弧截原角，B处以BA为起始边作同半径弧，最后用短弧定出BC。下面的等长关系来自这套尺规作法，不能通过量图片上的长度补条件。

为方便说明，下面的教学局部图把AD上的交点临时记为P，把AB上的交点临时记为Q。P、Q、R、S都是教学辅助点名，原卷只标A、B、C、D、E。

A处同一圆弧给出AP＝AQ。两个交点P、Q之间的距离PQ，是接下来需要保持的另一项关系。

注意被原角圆弧截到的是AD、AB，所以作等角时复制的是∠DAB。不能把整个100°的∠DAE当成被复制的角。

B处保持同样半径，再保持交点间距

B处以BA为起始边画同半径圆弧。教学图把BA上的交点记为R，把BC上的交点记为S。

保持相同的圆规开口，得到BR＝BS＝AP＝AQ。最后以R为圆心、PQ长为半径画弧，经过S，所以RS＝PQ。

这正是尺规作等角的方法：相同半径与相同两点间距都保留，A处的∠DAB就被复制为B处的∠RBS。R在BA上、S在BC上，所以∠RBS就是∠ABC。

$$\angle ABC=\angle DAB=\boxed{35^\circ}.$$

图上AD、BC的水平外观不是额外给定的平行条件。这里的角相等由尺规痕迹说明；绘图外观只帮助定位，不能代替依据。

看三段作弧怎样把两处接起来

先看概览，再看A、B处局部。局部图只改变观察范围，保留原图射线方向；其中AB、BA、BC表示射线方向。方框为固定针尖，菱形为笔尖，蓝虚线为圆规开口。回看作弧时，纸上各点不动。

自测：两问独立，先重画射线次序

①只改数值：保持∠DAE＝100°，把∠EAB改成45°，AB仍位于∠DAE内部。∠ABC是多少？

②独立改变位置：恢复∠EAB＝65°，仍有∠DAE＝100°，把AB放到AE的另一侧，使∠DAB小于180°，再按新位置重作同样的尺规痕迹。∠ABC是多少？

展开两问答案与理由

①AB仍在大角内部，∠DAB＝100°−45°＝55°，所以复制出的∠ABC＝55°。

②此问已恢复65°。从AD到AB先经过AE，两块角相邻，所以∠DAB＝100°＋65°＝165°，按新的痕迹作出的∠ABC也为165°。

∠DAE＝100°，∠EAB＝65°；AB位于∠DAE的外部、AE另一侧。

165°是改变条件后的合法结果；与原题35°不同，不表示新图“画错了”。如果第二问没有恢复65°、仍用45°，结果会是145°，因此必须把各问条件分清。

选看：用三组对应边核验复制关系

已学三角形全等时，展开对应边核验

辅助三角形△APQ与△BSR按A对B、P对S、Q对R对应：

△APQ	△BSR
AP	BS
AQ	BR
PQ	SR

AP＝BS、AQ＝BR来自相同半径，PQ＝SR来自最后一次圆规开口。三条对应边分别相等，两个三角形全等，所以对应角∠PAQ＝∠SBR，也就是两处所用角的大小相等。未学全等时，先掌握前面的尺规作等角步骤。

配套真题：2024·北京·第7题

原卷题直接检查相同的共同半径、交点间距和尺规作等角依据。正式三角形全等的部分可以以后选学。

（2024·北京·第7题）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法。

（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；

（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；

（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB。

已知角AOB

所作角A′O′B′

上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是

（A）三边分别相等的两个三角形全等

（B）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

（C）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

（D）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

展开真题答案与说明

答案A。原角弧给出OC＝OD；新顶点O′处的弧给出O′C′＝O′D′＝OC；以C′为圆心、CD为半径的弧给出C′D′＝CD。三条对应边分别相等，因此采用选项A所说的全等依据。

这与本课保持的两类长度对应：相同的半径，以及两个交点之间的距离。具体字母按各题读取，本课辅助点P、Q、R、S不作为原卷题的点名。

原卷扫描PDF（第2页第7题）。