第4题 · 把外面的50°接回三角形，求∠B

题目

如图4-2-19，∠ACB＝90°，按如下步骤操作：

①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC、AB于D、E两点；

②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；

③以点F为圆心，DE长为半径作弧，与前面的弧交于点G；

④作射线CG。

若∠FCG＝50°，∠B为＿＿＿°。

答案：∠B＝40°。原题为填空题。

所求∠B在△ABC里面，给出的50°却是C处外面的∠FCG。要把两处接起来，先追作图中保持的长度，找出它复制的是哪个角。

需要用到：同一圆弧上两点到圆心等距；尺规作一个角等于已知角的方法；三角形内角和180°。下面会把“直角三角形两锐角相加等于90°”从180°减去90°讲清楚；三角形全等的正式证明可选看。

第一段弧：先认出原角是哪一个

D在AC上，E在AB上，所以∠DAE与∠CAB使用相同的两条边，大小相同。

第一段弧以A为圆心，同时经过D、E，得到AD＝AE。交点之间的距离DE，留给第三步使用。

这里需要同时保留两类长度：从顶点截出的同样半径，以及两个交点之间的同样距离。只看DE长，不能脱离半径说角已经确定。

第二段弧：沿A到C的方向，越过C取F

A、C、F按这个次序在同一直线上。CF是从C继续沿A到C的方向伸出，与CA方向相反。“AC”和“CA”要按起点分清。

第二段弧以C为圆心，开口取AD。它经过F，也经过后来确定的G，所以CF＝CG＝AD。

F放在延长线上，是本题明确指定的位置。作等角可以从别的指定射线开始；不能把“总要延长原边”当成所有复制角题的规则。

第三段弧：保持DE这个开口

针尖固定在F，圆规开口取DE，短弧与C处圆弧交于G，得到FG＝DE。

然后从C经过G作射线CG。射线以C为起点，经过G继续延伸，不能只画成线段CG。

同半径、同交点间距，正是课内“作一个角等于已知角”的方法。A处的∠DAE被作成C处的∠FCG，而∠DAE就是∠CAB。因此：

$$\angle CAB=\angle FCG=50^\circ.$$

图中的AB、CG看起来同方向，是本题这种放置的结果。我们依据的是写明的尺规步骤，不把外观平行另当作已知。

回到三角形内部，算剩下的角

△ABC的三个内角相加为180°。C处已经是90°，所以A、B两处一共占剩下的90°，这就是“两个锐角互余”的意思。

$$\angle CAB+\angle B=90^\circ,$$ $$\angle B=90^\circ-50^\circ=\boxed{40^\circ}.$$

∠CAB＝50°，∠ACB＝90°；∠B＝90°−50°＝40°。

50°先通过作等角关系接到了A处，才能从90°中扣除。∠ACB仍然是90°，没有被外面的∠FCG替换。

回看三段作弧和第四步作射线

这是对原图已完成作图的回看：命名点保持不动，每一步重描当前线或弧。方框表示固定针尖，菱形表示笔尖，蓝虚线表示圆规开口。局部图等比例查看对应对象，保持原图射线方向；没有把远处的点移到别处。

自测：两问独立，先说明关系

①改角度：把∠FCG改为35°，保留∠ACB＝90°与相同作法。∠B是多少？

②独立恢复原题50°：只把第二段弧的半径由AD改为AE，其他条件不变。结果会改变吗？为什么？

展开两问答案与理由

①作等角关系仍给出∠CAB＝∠FCG＝35°。因此∠B＝90°−35°＝55°。

∠CAB＝35°，∠ACB＝90°；∠B＝90°−35°＝55°。

②第一段弧已给出AD＝AE。把第二段弧的开口名称由AD改成AE，取到的是同一长度，全部对应等长保留，原题结果仍为40°。

探索中的30°练习同样得到∠B＝90°−30°＝60°。半径可选择适合截到题图两边的长度；选好后，两处保持同一开口，不能只保持DE却随意改第二段弧的半径。

选看：三条对应边怎样核验作等角

已学三角形全等时，展开对应边核验

把△ADE与△CFG按A对C、D对F、E对G对应：

△ADE	△CFG
AD	CF
AE	CG
DE	FG

AD＝CF、AE＝CG是相同半径，DE＝FG来自第三次开口。三条对应边分别相等，得到△ADE≌△CFG，继而∠DAE＝∠FCG。

如果把左边写为△DAE，右边也必须跟着写为△FCG。全等式的顶点顺序标明谁对应谁，不能写成△DAE≌△CFG。

带走的关系与边界

题干连续指定“圆心、取哪段长度作半径”，就逐步写等长，检查是否保留了作等角的共同半径和交点间距。这里先得到∠CAB＝∠FCG，再用三角形内角和。

最后的90°依赖∠ACB是直角。若另换一个不是直角的C处内角，复制角的关系仍可保留，但应从180°中扣除那个内角与∠CAB，不能继续套“90°减去所作角”。

配套真题：2024·北京·第7题

原卷题直接检查同半径、交点间距及作等角的依据。正式全等部分可以以后选学。

（2024·北京·第7题）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法。

（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；

（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；

（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB。

已知角AOB

所作角A′O′B′

上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是

（A）三边分别相等的两个三角形全等

（B）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

（C）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

（D）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

展开真题答案与说明

答案A。OC＝OD，O′C′＝O′D′＝OC，C′D′＝CD。△C′O′D′与△COD的三条对应边分别相等，所以采用选项A的全等依据，进而得到两个角相等。

本课按A/D/E与C/F/G对应，原卷真题按它自己的O/C/D与O′/C′/D′对应；具体字母各按原题读取，保持的两类长度相同。

原卷扫描PDF（第2页第7题）。