第7题 · 从AB连续复制两次α，作出2α

题目

如图4-2-22，已知∠α，射线AB，请用尺规作图的方法以点A为顶点，作∠CAB，使∠CAB＝2∠α。（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

答案是成图：∠CAB＝2∠α。原题没有给α的度数，不需要求一个数。下面同时保留给角α上的取距痕迹与A处两次复制的痕迹。

原题要求“不写作法，保留作图痕迹”，作答保留成图即可。以下步骤用于学习怎样画。α读“阿尔法”；A、B是原图已有点，C是待作点，D是为了相邻拼接添加的辅助点。

需要用到已学的尺规作等角方法，以及相邻角的加法。不用量角器测出α，再按度数画；正式三角形全等可以选看。

先选AB为共同半径

射线AB原来已经给出。以A为圆心、AB长为半径，在AB上方画足够长的圆弧。B本来就在这段弧的起点，不另造一个同向交点。

这里选择AB长作半径，是利用已给出的B。这个长度不决定α的度数；后面给角处与目标处要使用相同半径。

在给角α中取一份交点间距

以给角α的顶点为圆心，仍用AB长为半径画弧，截它的两条边。用圆规保存两个交点之间的距离，后面用两次。

原给角没有字母点名，图中的这两个交点不与目标图A、B、D、C混用。圆规先保持共同半径截边，再量取两个交点的距离，这两个量不同。

第一次：从AB得到AD

以B为圆心、刚才的两交点间距为半径作短弧，在A处的大弧上取AB上方的D。再从A经过D，继续向前作射线AD。

按作等角的方法，第一块∠DAB＝∠α。AB＝AD，BD等于从给角保留的间距。

第二次：从AD继续，避开旧B，取新C

现在起始边换成AD。以D为圆心，仍用同一份间距作弧。B本来就在这个D圆上，因为DB正是这份距离。

但第二次不能又取回B。沿同一个D圆补弧，在A处大弧上取与B分居AD两侧的新交点C，再从A经过C作射线AC。

这回AD＝AC，DC＝DB。相同半径、相同交点间距，把同一个α从AD接成∠CAD，所以∠CAD＝∠α。原B保持身份与位置，不能把它改名为C。

为什么整个角正好是2α？

从AB经过AD，再继续到AC，依次走过两块角。它们共用AD，内部不重叠，没有覆盖同一块区域。

$$\angle CAB=\angle DAB+\angle CAD.$$ $$\angle CAB=\angle\alpha+\angle\alpha=2\angle\alpha.$$

原图α是锐角，本页按普通凸角说明，两块相加小于平角。探索中的数值只是示意，不能把图上量出的度数写成原题答案。

回看：一份间距，连续复制两次

方框为固定针尖，菱形为笔尖，蓝虚线为圆规开口。第二次从旧B补同一个D圆的另一段弧，经过新C；B保留，C才是新交点。画AD、AC时从A经过交点继续延伸，才是射线。

自由探索保留给定AB，改变α示意或作图侧后按新条件重作D、C，固定讲解的声音和字幕停止。原题没有限定AB的哪一侧，上方和下方都可以；本课主解画在上方。

选看：用三角形全等核对

展开两次作等角的对应关系

在给角α中，同半径截出的两条半径与目标的AB、AD对应，两交点间距与BD对应，三条对应边分别相等，核对∠DAB＝∠α。

再看△ABD与△ADC，A对应A，B对应D，D对应C。AB＝AD、AD＝AC来自A处同一圆弧，BD＝DC来自保持同一开口。

$$\triangle ABD\cong\triangle ADC.$$$$\angle BAD=\angle DAC.$$

这给出两块角相等；再结合相邻而不重叠，得到整个∠CAB是两块的和。全等依据核对的是大小，不能代替位置检查。

自测：取回B，或换到AB下方

①取回旧B：第二次以D为圆心作弧时，若又取回B，再从A向B作所求的边，还能构成2α吗？

②换作图侧：按同法在AB下方连续作两块α，∠CAB的大小会改变吗？原题是否禁止这种画法？

展开两问答案与理由

①不能。所作边回到AB方向，没有从AD接出新的一块，无法构成所求的两倍角。D圆与A圆的旧交点B不能充当新交点C；须选AD远离B一侧的另一个交点。

②仍为2α。下方同样先作∠DAB＝α，再相邻接∠CAD＝α，两块内部不重叠。它是上方作图关于AB的镜像；给角α本身不变，原题也未限定侧。

迁移时先固定顶点与起始边，再看一共要拼几块，第二块从哪条新边开始，是否重复覆盖。不能只数“复制两次”，还要核对两块的位置。

配套真题：2024·北京·第7题

原卷三步作等角保持同半径与同交点间距，本题连续使用同一给角的方法两次。

（2024·北京·第7题）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法。

（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；

（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；

（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB。

已知角AOB

所作角A′O′B′

上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是

（A）三边分别相等的两个三角形全等

（B）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

（C）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

（D）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

展开真题答案与说明

答案A。OC＝OD，O′C′＝O′D′＝OC，C′D′＝CD；△C′O′D′与△COD三条对应边分别相等，采用选项A的全等依据，所作角与原角相等。

真题按其原图C、D、O读取；本题的B、D、C属于两次连续复制，点名不混用。

原卷扫描PDF（第2页第7题）。