第8题 · 以OB为边作等角，AOC是40°或80°

题目

如图4-2-23，已知∠α，∠AOB。

（1）求作：以OB为一边，作∠BOC＝∠α。（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）若∠AOB＝60°，∠α＝20°，求∠AOC的度数。

答案：（1）两种成图都能作出∠BOC＝∠α；（2）∠AOC＝80°或40°。原题没有限定OC在∠AOB内还是外，不能自己加上这个条件而漏解。

这是两幅独立的作图，每幅图里的C表示各自所取的交点。第1问的原题要求“不写作法，保留作图痕迹”，任一种合法成图都能作等角；第2问求可能的度数，要把两种位置都考虑。

需要用到尺规作等角、按射线位置判断相邻角的加减。α读“阿尔法”。给角α的顶点原来没有字母点名，不把它与目标图O、A、B、C混用；正式全等依据可选看。

先用OB为共同半径，再在α中取距

B原来就在OB上。选OB长度作共同半径，以O为圆心，在OB一侧画足够长的一段弧，B保持在原处。

再以给角α的顶点为圆心，用同一半径截两边，保存两个交点之间的距离。

两处顶点截出的半径相同，再把交点间距保住，才能按作等角的方法把α复制到OB旁。第1问不需要用量角器测出α的度数。

一幅：在OB背离OA的一侧取C

以B为圆心、给角两交点间距为半径作短弧，交O处大弧于OB背离OA一侧的C。用直尺从O经过C，继续向前作射线OC。

OB＝OC，BC等于给角两交点的距离，所以∠BOC＝∠α。这里C在原角外部，但它并不是题目唯一允许的位置。

另一幅：靠近OA的一侧同样能作

另画一幅相同的原图，O、A、B保持。针尖仍放B、开口仍是刚才的间距，在OB靠近OA的一侧取另一幅图中的C，再作射线OC。

这一幅同样有OB＝OC、BC为相同交点间距，所以∠BOC也等于∠α。按第2问的60°与20°，C在OA、OB之间，因此是原角内部的合法位置。

第2问：角外相加，得到80°

先看角外这幅。从OA经过OB，再到OC，两块相邻而不重叠：

$$\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC.$$ $$\angle AOC=60^\circ+20^\circ=80^\circ.$$

第2问：角内相减，得到40°

再看另一幅。OC在OA、OB之间，整个60°的AOB由AOC和COB两部分组成。

$$\angle AOB=\angle AOC+\angle COB.$$ $$\angle AOC=60^\circ-20^\circ=40^\circ.$$

两种图都符合第一问，所以第二问必须同时给出80°或40°。位置决定哪一条和差关系适用，不能只凭“复制角”就固定使用加法。

回看：针尖、半径、交点与两种和差

方框为固定针尖，菱形为笔尖，蓝虚线为圆规开口。新C随实际交弧出现，作OC时从O经过C继续延伸。导览的两种C在独立图中分别作出，不把一个点假装移到另一侧。

探索中的AOB和α可以改成其他示意。改数值或侧后，按新条件重作C，固定60°/20°的声音与字幕停止。探索范围保持α小于AOB、二者之和小于平角，因此所标角内与角外成立；换到其他范围时仍应重新检查位置与所求角的范围。

选看：已学三角形全等时的核验

展开同半径与同交点距的依据

给角α中两条半径，与目标图的OB、OC分别等长；给角的两交点间距，与BC相等。三条对应边分别相等，按SSS核对两角大小相同。

这只说明BOC＝α，不能决定C必须在哪一侧。两种位置都要按题目条件检查，原题没有内外限制。

自测：额外加“OC在内部”，答案会怎样？

若题干额外要求“OC在∠AOB内部”，60°和20°不变，应该只保留哪个答案？原题没有这个条件时，为什么不能自行舍去另一种？

展开答案与理由

额外限定内部时，只保留40°，因为60°的AOB由AOC和20°的COB两部分组成。80°对应OC在角外，不符合新增的内部条件。

原题未限定侧，角外80°仍合法。可迁移的顺序是：先按完整题面列出合法位置，再按每幅图里射线的先后关系列和差，最后检查有没有自行增加条件。

配套真题：2024·北京·第7题

原卷三步作等角保持同半径与同交点间距，正是本题作BOC＝α的方法；本题另外需要分类和角的和差。

（2024·北京·第7题）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法。

（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；

（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；

（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB。

已知角AOB

所作角A′O′B′

上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是

（A）三边分别相等的两个三角形全等

（B）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

（C）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

（D）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

展开真题答案与说明

答案A。OC＝OD，O′C′＝O′D′＝OC，C′D′＝CD；△C′O′D′与△COD三条对应边分别相等，采用选项A的全等依据，所作角与原角相等。

按各题原图读取字母，本题的OB是给定起始边，不能改成从OA复制另一个角。

原卷扫描PDF（第2页第7题）。