第6题 · 在CD上方作∠DBE＝∠ABC

题目

如图 4-2-21，已知 ∠ABC，点 D、B、C 在同一条直线上，在直线 CD 上方作 ∠DBE，使 ∠DBE＝∠ABC。（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

答案是下面这张成图：在CD上方作出射线BE，使∠DBE＝∠ABC。原题没有给度数，不需要算一个数。

原题要求“不写作法，保留作图痕迹”，作答留下成图和圆弧即可。下面的步骤用于学习怎样作。

先按原图指出D、B、C的顺序：B在D、C之间，所以BD向左、BC向右，是一对反向射线。只有“三点共线”这几个字，还不能确定哪一点在中间；这里须结合原图读取。

需要用到已学的尺规作等角方法：以同半径截两边，再保持两个交点的距离。直尺只连线，不用量角器测度数。正式三角形全等留在后面的选看部分。

先用同一个B处大弧，截出M、N、P

以B为圆心，取一个适当半径，画一段足够长的上方圆弧，依次交BC于M、BA于N、BD于P。

M、N、P是为讲解新增的辅助点名；原题只给A、B、C、D，E是待作点。因为三个交点来自同一个圆心和开口，所以BM＝BN＝BP。不要把A、C、D当作等距交点：原题没有给AB、BC、BD等长。

量取原角两交点之间的MN

把圆规针尖对准M、笔尖对准N，保留MN这个开口。这里量取的是两个交点间的距离，和刚才B处的共同半径是两个量。

虚线表示圆规量取的距离，并不是作图必须新增的一段圆弧。

以P为圆心，用MN取上方交点E

新角从BD起，P已经在BD上。保持刚才MN的开口，把针尖放在P，画短弧，与B处的大弧交于CD上方的E。

E同时在两段弧上：在B处的弧上，给出BE＝BM；在P处、半径为MN的弧上，给出PE＝MN。这两条关系一起固定了E的位置，不能在B处圆弧上随便选一点。

从B经过E，继续作射线BE

用直尺从B经过E向前作射线BE。BD与BE组成所求的∠DBE。

原角ABC由BA、BC组成。用同样半径和同样交点间距复制后，新角DBE与它相等。

因此可按页首成图作答。检查三处：顶点仍是B，起始边是BD，E在CD上方；最后保留画弧与交点痕迹。

回看：针尖固定、开口保持、射线过E

方框为针尖，菱形为笔尖，蓝虚线为圆规开口。B处大弧和P处短弧显示真实圆周运动；作BE时从B经过E继续延伸。静音时也可按正文与步骤图复查。

探索中的度数、半径倍数只是自选示意，原题没有这些数。换半径时A、B、C、D保持；辅助交点随同一开口改变，复制出的角大小仍由原角确定。换到下方条件表示重新取E，固定讲解的声音和字幕停止。

选看：已学三角形全等时怎样核验

展开三组对应边与角

对照△BMN与△BPE，顶点B对应B，M对应P，N对应E。

BM＝BP、BN＝BE，来自同一B处圆弧；MN＝PE，来自以P为圆心、MN为半径的短弧。

三边对应相等，用SSS判定：

$$\triangle BMN\cong\triangle BPE.$$$$\angle MBN=\angle PBE.$$

BM沿BC，BN沿BA，所以∠MBN与∠ABC大小相同；BP沿BD，∠PBE就是∠DBE。由此核对∠DBE＝∠ABC。这里并没有额外假设AB＝BC＝BD。

自测：改到CD下方，要补什么？

沿用上面同半径、同MN间距的作法。若把要求改成“在直线CD下方作∠DBE＝∠ABC”，原来只在上方画过的B处圆弧够用吗？哪些距离保持，E怎样重新选？

展开下方变式与理由

先把以B为圆心、同一半径的圆弧延到下方，保证它经过需要取交点的位置。上方弧与M、N、P保留，仍用MN作为下一次开口。

再以P为圆心、MN为半径，在CD下方画短弧，取两弧下方交点为新的E，作射线BE。下图已按新条件重新取E；不是原题上方E的答案图。

共同半径和MN间距保持，角的大小相同，改变的是要求的那一侧与相应弧段。不能说“前三步完全一样、直接取下方交点”：原来若只画足上方弧，就须补下方弧。

可迁移的顺序：先认顶点、起始边和指定侧，再用同半径与同交点间距定点，最后作射线。顶点是否在原处，不决定是否需要另画起始边；本题BD本来已经给出。

配套真题：2024·北京·第7题

这道原卷题的三步作法同样保持半径与交点间距，直接对应本题的作等角方法。

（2024·北京·第7题）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法。

（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；

（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；

（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB。

已知角AOB

所作角A′O′B′

上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是

（A）三边分别相等的两个三角形全等

（B）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

（C）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

（D）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

展开真题答案与说明

答案A。OC＝OD，O′C′＝O′D′＝OC，C′D′＝CD；△C′O′D′与△COD三条对应边分别相等，采用选项A的全等依据，得到所作角与原角相等。

真题中的C、D与本题的C、D各指各图对象，不能混用。本题另外给了反向起始边BD，并指定CD上方，作图后还须检查位置。

原卷扫描PDF（第2页第7题）。