第9题 · 给α与b，作两端角α、2α的三角形
原题要求尺规作三角形，两内角为α和2α，夹边为b。把给定b两端命名A/B，A处复制一次α、B处连续复制两次α，两主射线相交后才把交点记C，保留成图与痕迹。
题目
如图4-2-24，已知∠α及线段b，求作一个三角形，使得它的两内角分别为α和2α，且这两内角所夹的边长为b。（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
答案是下面这张成图：△ABC中，AB＝b，∠CAB＝∠α，∠ABC＝2∠α。原题没有给度数，不需要算一个数。
原题要求“不写作法，保留作图痕迹”，作答留下成图即可；下面的步骤用于学习怎样画。A、B是给定线段b两端添加的名字，C最后取两条主射线的交点，D只是B端作倍角的辅助点。
α读“阿尔法”。线段b中的b是小写英文字母，点B是大写点名；二者不同。需要用到尺规作等角、两块相邻α组成2α，以及射线相交。主解不用先背三角形内角和。
直接以给定线段b为AB
在原来那条线段b的两端写上A、B。新增的是名字，线段的位置与长度都保留，AB自然等于b。
以AB长为共同半径，在A、B两端分别画足够长的圆弧，准备作角。
AB正好连接α、2α两个角的顶点，所以它是这两个角的夹边，不能把b随便放到另一个位置。
在给角α中取一份交点间距
在α的顶点也用同一AB半径截两边。把这两个交点之间的距离保存在圆规上，后面三次复制都用这一份距离。
给角α的顶点和两个截点原来没有字母名字，不与A、B、C、D混用。共同半径与两交点间距是两个量，要分别保持。
A端：从AB起，复制一块α
以B为圆心、刚保存的间距为半径作短弧，交A处的大弧。再从A经过这个交点作射线，得到与AB夹角为α的方向。
这个圆弧交点只是确定A端方向，先不把它命名成三角形顶点C。C必须同时落在两条主边上。
B端：先从BA起作第一块α
在AB同一侧，从B看向A，起始边要用BA。以A为圆心、同一份间距作短弧，交B处的大弧于辅助点D，作射线BD。
这一块是∠ABD＝∠α。D的任务是给第二块α一个新的起始边，不能拿它代替第三个顶点C。
B端：从BD继续接第二块α
以D为圆心，开口仍用同一份间距。旧A本来就在这个D圆上，不能原路取回A；要补同一个圆的另一段弧，找到B处大弧上的另一个新交点，再从B经过它作第二条主射线。
从BA经过BD，再到新方向，两块角相邻而不重叠，因此B端得到α＋α＝2α。
两主射线相交后，交点才记C
沿已经作出的A端、B端方向把射线画够长，原来画过的部分保留。找到两条射线的真实交点，把它标为C，突出三角形的三条边。
C在A端射线上，所以∠CAB＝∠α；C也在B端的2α射线上，所以∠ABC＝2∠α。AB取自给定b，没有改变。
AB＝b，∠CAB＝∠α，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝2∠α。
C由A端、B端两条主射线相交确定。D是B处的倍角辅助点，不能拿来替代C。
圆弧交点可能在C之前或之后，也可能偶然与C重合。判断C的依据始终是同时落在两条主射线上，不是“它看起来像某个交点”。
回看：先作方向，再找交点
方框为固定针尖，菱形为笔尖，蓝虚线为圆规开口。两端圆弧、三次转移开口与射线都按动作实际生成；C在最后给真实交点添加名字时出现。辅助D、BD、圆弧与延长线都保留。
探索中的α只是自选示意，原题没有这些度数。改α或作图侧后按新条件重作方向和C，固定讲解的声音与字幕停止；给定b和底边端点A/B保持。
自测：B只作一次，或换到b另一侧
①只作一次：B端只复制一次α，就和A端射线相交，所得三角形符合“两内角α、2α”吗？
②换一侧：用相同作法在AB下方画完全对称的三角形，两个角及夹边还符合要求吗？
展开两问答案与理由
①不符合。B端只得到α，没有得到2α；不能只看“围成了三角形”，还要逐条核对两个角和它们的夹边。
②符合。关于AB作镜像，AB长度保持，A端仍为α，B端仍为2α；原题没有规定作在哪一侧。
迁移时先指出哪两个角是给定角、它们之间是哪条边，再决定两端各复制几次。第三个顶点必须是两条正确方向的共同点。
选看：什么样的α能围成三角形？
已学三角形内角和后，展开存在范围
若已学三角形三个内角合为180°，α和2α之和是3α，必须小于180°，另一个内角才大于0，所以非退化情形需要0°＜α＜60°。
α＝60°时，两条所作主射线不能围成三角形；更大的α也不满足条件。本页按原图给出的小角作图，不把“无论给多大的角都能相交”当成结论。
这项范围核对留给已学者选看，主解仍是按给角作出两端方向，再核对它们的真实交点。
配套真题：2024·北京·第7题
原卷作等角保持同半径与同交点间距，直接对应本题A端一次、B端两次复制α的方法。完整真题保留三步、两图与四个选项。
（2024·北京·第7题）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法。
（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；
（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB。
已知角AOB
所作角A′O′B′
上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是
（A）三边分别相等的两个三角形全等
（B）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
（C）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
（D）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
展开真题答案与说明
答案A。OC＝OD，O′C′＝O′D′＝OC，C′D′＝CD；△C′O′D′与△COD三条对应边分别相等，采用选项A的全等依据，所作角与原角相等。
本题额外把两端所作方向相交成三角形；按本题的A、B、C、D分别读取，不把真题中的点名混进来。