第5题 · 两艘轮船的方位，∠APB 多大

题目

答案：∠APB＝165°。 把PA到PB的夹角分成PA到正南、正南到正西、正西到PB三段，得到35°＋90°＋40°＝165°。

方向名称先告诉我们从哪条方向线开始量。“南偏东35°”从P的正南向东量35°；“北偏西50°”从P的正北向西量50°。两个数的起点不同，不能直接把35°与50°相加当成∠APB。

先按方向名称核对PA与PB

原题只有文字条件，下面的图由题干补画。图只表示方向，不表示两船到P的实际距离。

PA：南偏东35°

PB：北偏西50°

PA：南偏东35°。 先找正南，再朝正东偏35°，PA落在东南一带。35°量的是正南与PA之间，不是正北与PA之间。

PB：北偏西50°。 先找正北，再朝正西偏50°，PB落在西北一带。50°量的是正北与PB之间，不是正西与PB之间。

图中的空心查看标记和弧箭头用来指认量角的方向，不是新增射线，也不是轮船在转动。

为什么先求西线到PB的角

现在从PA沿顺时针看向PB，途中依次遇到正南、正西。为了把一整段分成容易核对的小段，先把每段的两个边界说清楚：

1. PA到正南：35°，题目已给出。
2. 正南到正西：90°，是一个直角。
3. 正西到PB：还没有直接给出，需要先求。

北线到西线是90°，PB在两条线之间。 北线到PB已占50°，所以余下的西线到PB是：

90°−50°＝40°。

PA：南偏东35°

PB：北偏西50°

因此“北偏西50°”也能写成“西偏北40°”。起量方向换了，数字就要重新计算，不能把字的顺序交换后仍写50°。

三段首尾相接，再相加

沿同一个方向，从PA开始，先到正南，再到正西，最后到PB。这三段没有重叠，也没有漏掉中间的一段：

∠APB＝35°＋90°＋40°＝165°。

PA：南偏东35°

PB：北偏西50°

1. PA → 正南35°
2. 正南 → 正西90°
3. 正西 → PB40°

两条方向还可以沿另一侧绕过去，量过195°；165°＋195°＝360°。本题通常所说的两射线夹角，取不大于180°的那一侧，因此答165°。

用同一起点，独立核对一次

也可以把从正北开始、顺时针量到一条射线的角叫作它的方位角。这个统一刻度中，北为0°，东为90°，南为180°，西为270°，绕一圈回北为360°。

• PA从北量到的位置：180°−35°＝145°。
• PB从北量到的位置：270°＋40°＝310°，也等于360°−50°。
• 同一起点的两个刻度相减：310°−145°＝165°。

这里145°、310°是分别从正北量到PA、PB的刻度，题目所求仍是两条边之间的165°，不要把方向刻度当成另一个∠APB。

只改一个方位字，关系会怎样变

自测： PA仍为南偏东35°，只把PB改成北偏东50°。∠APB是多少？先在同一个P的方位图里标出两条边，判断原来经过正南、正西的三段还能不能直接套用。

展开东侧新图与理由

PA：南偏东35°

PB：北偏东50°

50°＋∠APB＋35°＝180°，所以∠APB＝180°−50°−35°＝95°。PB已经换到东北方向，不能机械沿用原题的“35°＋90°＋40°”。

再判断： PA为南偏东10°，PB为北偏东10°，夹角是20°吗？先说明两个10°各靠近南北线的哪一端。

展开两个10°的方向对照

PA：南偏东10°

PB：北偏东10°

不是20°。东半边的平角180°由10°、∠APB、10°拼成，所以∠APB＝180°−10°−10°＝160°。

带走的判断

同一观测点 → 按名称认清起量方向与偏向 → 在同一幅方位图里找所求两条边 → 选首尾相接、无重叠无遗漏的角相加，或从完整的直角、平角中减去已知部分 → 回图核对大小与方向。

“同在南北线的一侧”并不能单独决定加还是减。关键是各个角的实际边界；条件换了，所经过的方向和分段关系也要跟着重新判断。

真题回查：换观察点，量角的基准也要跟着换

下面复用已核验的近五年中考原卷题，直接检查方向名称的起点、反向观察与所求角的两条边。它与本课共用方位角的基准知识，不是把原题的35°＋90°＋40°换一组数字。

展开河南真题答案与核对

答案B，∠1＝50°。甲看乙为北偏东50°；改为乙看甲，沿相反方向，就是南偏西50°。

图中的角1在乙地的正南方向与乙到甲之间，所以仍是50°。可以把两条边一起反向来理解：北换成南，甲到乙换成乙到甲，夹角的大小不变。90°−50°＝40°量的是另一段角，不能代替原图标出的角1。

出处：2024年河南省中考数学完整原卷文本与图，第3题，并与二一教育完整试卷及参考答案核对。保留原题干、四个选项、两地北线、50°和角1的实际位置；原题与核验证据沿用同一来源。

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