第2题 · 固定OA，把70°向两侧各量一次

题目

如图4-2-1，射线OA的方向是北偏东30°，在同一平面内∠AOB＝70°，则射线OB的方向是（　　）。

A. 北偏东40°

B. 北偏西40°或东偏南80°

C. 南偏东80°

D. 北偏西40°或南偏东80°

答案：D，北偏西40°或南偏东80°。 70°只给了两条射线的夹角，没有规定OB在OA哪一侧，因此两侧都要找。

先会读一个方向名称：北偏东30°，是从O的正北方向出发，向东偏30°，得到OA。名称先说哪个方位，就从哪个方位量；南偏东、东偏南的起点不同。

顺时针一侧：先越过正东，再从正南读名称

为了让转向与加减对应，暂时把从正北开始、沿顺时针量到一条射线的角叫作方位角：北为0°，东为90°，南为180°，西为270°，转一圈回到北为360°。

OA的方位角为30°。从OA顺时针再量70°，从北累计量过：

$$30^\circ+70^\circ=100^\circ.$$

100°比正东的90°多10°，OB已经在东南方向。要写成“南偏东”，从正南向东量到OB，偏角为：

$$180^\circ-100^\circ=80^\circ.$$

所以这一侧是南偏东80°。如果改从正东向南量，偏角就是100°−90°＝10°，同一条OB也可写成东偏南10°。两个名称描述同一个方向，不能直接把字的顺序交换后仍写80°。

逆时针一侧：先回到北，再向西量

回到原来的OA，另画一幅图。逆时针量70°时，先用30°回到正北，还要向西量：

$$70^\circ-30^\circ=40^\circ.$$

因此另一条OB是北偏西40°。反过来核对，北线两边的40°＋30°＝70°，符合∠AOB＝70°。

用方位角记号也可算30°−70°＝−40°；负号表示越过北线向西转40°，不表示“夹角是负数”。它与方位角320°指向相同。

顺时针一侧

OB：南偏东80°（也可写东偏南10°）。从OA顺时针转70°到OB，两射线的夹角为70°。

逆时针一侧

OB：北偏西40°（也可写西偏北50°）。从OA逆时针转70°到OB，两射线的夹角为70°。

两幅图分别表示两种摆法，所求射线都叫OB；不是同一幅题图中多了两条同时存在的OB。小圆点表示点的位置，旁边的短灰虚线只用来连接点名。图中距离不参与计算，关键是方向与夹角。

四个选项，检查“正确”与“完整”

• A：北偏东40°。 与OA北偏东30°同在北线东侧，只相差40°−30°＝10°，不符合70°。
• B：北偏西40°或东偏南80°。 前一个方向正确；后一个的方位角为90°＋80°＝170°，与OA相差140°，不符合。问题在于80°这个数，不在于从东起量这种说法。
• C：南偏东80°。 这一种合法，但遗漏了北偏西40°。
• D：北偏西40°或南偏东80°。 两个方向正确且列全，选D。

换条件检查：什么时候只留一解

自测1： OA改为北偏东20°，∠AOB改为60°。OB有哪些方向？若再规定OB在南北线东侧，答案怎样变化？先画，再展开。

展开两侧的图与新增条件

20°＋60°＝80°，得到北偏东80°；20°−60°＝−40°，得到北偏西40°。先有两解。增加“OB在南北线东侧”后，只保留北偏东80°。

顺时针一侧

OB：北偏东80°（也可写东偏北10°）。从OA顺时针转60°到OB，两射线的夹角为60°。

逆时针一侧

OB：北偏西40°（也可写西偏北50°）。从OA逆时针转60°到OB，两射线的夹角为60°。

这里第一种还没有越过正东，不能沿用主例的“南偏东80°”，更不能写成南偏东10°。方向名称要随新图重新读。

自测2： OC的方向为南偏西25°，∠COD＝60°，没有其他侧向限制。OD有哪些方向？其中靠近正西的那一种，在西线的北侧还是南侧？

展开从OC两侧定位OD

OC的方位角为180°＋25°＝205°。205°＋60°＝265°，比正西的270°少5°，仍在西线南侧，是西偏南5°，也可写南偏西85°；不是西偏北5°。205°−60°＝145°，另一种为南偏东35°。

顺时针一侧

OD：南偏西85°（也可写西偏南5°）。从OC顺时针转60°到OD，两射线的夹角为60°。

逆时针一侧

OD：南偏东35°（也可写东偏南55°）。从OC逆时针转60°到OD，两射线的夹角为60°。

不熟悉265°时，可以从正南向西读：25°＋60°＝85°，距离正西90°还差5°，所以仍在南侧。画图、方位角与方向名称三者要对应。

带走的判断

已知一条方向与夹角 → 固定已知边，向两侧各量一次 → 反算夹角，按附加条件筛选 → 从所选基准读出方向名称。 本题70°在0°与180°之间且没有侧向限制，所以有两个不同方向；不能把“永远有两解”当成不看条件的口诀。

方向可以从北、南、东或西作为起点描述。比如南偏东80°与东偏南10°指向相同；更换起点后，两段偏角在同一个直角内相加为90°。

真题回查：先认∠1量的是哪两条方向

下面原题直接检查方位角的基准和反向观察，不是把主例的两解数字换一遍。

展开河南真题答案与理由

答案B，∠1＝50°。平面方位图中，两地的北线同向；甲看乙是北偏东50°，乙看甲沿相反方向，就是南偏西50°。图中的∠1正在乙地正南方向与乙到甲之间，所以仍为50°。

可以把两条边一起反向来理解：北换成南，甲到乙换成乙到甲，夹角大小不变。90°−50°＝40°量的是另一段角，不能拿来代替原图标出的∠1。

出处：2024年河南省普通高中招生考试数学完整原卷文本与图，第3题，并与二一教育所列完整试卷及参考答案逐项核对题干、四个选项和题号。上图按原图重绘，保留两地北向虚线、50°与∠1的实际位置。

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