第6题 · 直线上叠着直角：∠2 是多少

原图中∠1在OA与OB之间，∠2在OC与OD之间。先从直角90°中去掉28°，得到∠BOC＝62°；再从平角180°中去掉62°，得到∠2＝118°。

题目

如图4-2-3所示，∠1＝28°，∠AOC＝90°，点B、O、D在同一条直线上，求∠2的度数。

图4-2-3（按原图重绘）。1在OA与OB之间，2在OC与OD之间；B、O、D依次共线。

答案：∠2＝118°。 先求直角中剩下的∠BOC＝90°−28°＝62°，再用平角减去它：∠2＝180°−62°＝118°。

这里的两个“整角”不同：∠AOC是90°，∠BOD是180°。同一块∠BOC，把这两条关系接了起来。

原图中，OA向右，OC向上，OB夹在OA、OC之间。角1是∠AOB，已知28°。角2在图的左侧，两条边是OC和OD，所以角2是∠COD。

图中O位于B、D之间，OB与OD是反向射线。 因此∠BOD是180°的平角。只有“共线”几个字还不够，判断某个角是不是平角时，还要看两条边是否反向。

讲解图中的空心标记和弧箭头只表示查看顺序；原来的射线保持不动。弧的半径为方便辨认而错开，不是另加的角。

想求左边∠COD，先看它旁边的∠BOC。OB位于∠AOC内部，∠AOB与∠BOC正好拼成这个直角，没有重叠或遗漏。

∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°。

已知∠AOB＝28°，所以：∠BOC＝90°−28°＝62°。

查看弧从OB到OC，指认直角里去掉角1后剩下的部分。28°＋62°＝90°；62°是∠BOC，还不是角2。

从OB沿同一个逆时针方向，经过OC，再到OD，正好扫过180°。中间只分成∠BOC与∠COD这两块。

∠BOC＋∠COD＝∠BOD＝180°。

∠BOC已经求得62°，所以：∠2＝∠COD＝180°−62°＝118°。

查看弧从OC到OD，指向所求的角2。62°＋118°＝180°；角2比90°大，是钝角。

两条关系都成立，且结果118°对应的确实是OC与OD之间的角。算式正确与认角正确要一起核对。 OA与OD之间的较小角是152°，它没有包含∠AOC，不能把152°−90°当作图中∠COD。

自测一： 其他条件和位置关系不变，只把∠1改为40°。∠2是多少？先求∠BOC，再从180°里减去它。

展开40°的新图与理由

直角与平角保留：40°＋50°＝90°，50°＋130°＝180°。

∠BOC＝90°−40°＝50°，∠2＝180°−50°＝130°。∠1增加12°，∠BOC减少12°，∠2增加12°。

自测二： ∠1仍是28°，但∠AOC改为110°，OB仍在它的内部，OB与OD仍反向。∠2还能用90°＋28°求吗？

展开不再是直角时的核对

∠AOC现在是110°，不画直角记号。28°＋82°＝110°，82°＋98°＝180°。

不能。∠BOC＝110°−28°＝82°，∠2＝180°−82°＝98°。180°的平角关系仍保留，原来的90°已经改变。

找准所求的两条边 → 找与它相接的未知角 → 利用已知整角先求出这一块 → 再用另一个整角相减 → 把结果代回两条关系。

当∠AOC＝90°、OB在它内部且OB与OD反向时，可以整理成：∠2＝180°−（90°−∠1）＝90°＋∠1。这里的加法是从两次相减推出来的；射线位置或整角条件改变时，先重新画图和列关系，不能只套数字。

下面的已核验中考原题同样需要利用平角180°与直角90°，先求出把两个整角接起来的那一块。字母与所求角按原卷保留。

（2024·北京·第2题）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为（　　）

A. 29°　　B. 32°　　C. 45°　　D. 58°

按原卷位置关系重绘：AB与CD为直线，OE⊥OC；图形为示意，角度以题干为准。

展开北京真题答案与理由

答案B，∠EOB＝32°。OA与OB反向，∠AOC＋∠COB＝180°，所以∠COB＝180°−58°＝122°。

OE位于∠COB内部，OE⊥OC给出∠COE＝90°。∠EOB是122°中去掉90°后剩下的一块：122°−90°＝32°。核对58°＋90°＋32°＝180°，三块沿上半平面首尾相接。

出处：2024年北京市中考数学原卷，第1页第2题。复用项目已经逐字核验的完整题干、四个选项与原图位置重绘，本次重新核对原卷题图及现存原题。