第3题 · 固定一条边，数全小于平角的角

先认OE、OD、OC、OB、OA五种方向，每个角用两条边登记。只与后面的边配对，列出4＋3＋2＋1＝10对；OA与OE反向形成唯一平角，排除这一对，得到9个。

题目

如图 4-2-2 所示，小于平角的角有________个。

图4-2-2（按原图关系重绘）。E、O、A在同一条直线上，O在E与A之间；OB、OC、OD位于这条直线的上方。图中没有给出各角的具体度数。

答案：9个。 先列出两条边的全部配对，再排除∠EOA这个平角。

两条不同方向的射线从O出发，就能确定本题要登记的一个角。平角的两条边在同一直线上、从O向相反方向伸出，大小为180°。“小于平角”不包含恰好180°，但包含大于90°、小于180°的钝角。

例如∠EOC的两条边是OE和OC。虽然内部还有OD，∠EOC仍然是一个角，要登记；∠EOD、∠DOC也各有自己的两条边，不能因为已经登记了小角就漏掉大角。

粗线指认OE与OC，弧线查看∠EOC。OD仍留在里面，并没有把这个大角从题图中消除。细灰短虚线只用来标名；图中没有给出各个角的具体度数。

图中没有给这些角的具体度数，本题也不需要用量角器量。我们只检查边的组合，以及是否恰好形成平角。

先固定OE，依次配OD、OC、OB、OA，有4对。这一行先把∠EOA也列入，表示完整配对，不是说平角符合题意。

换成固定OD，只配OC、OB、OA，有3对。不能再回到OE，因为∠DOE与前一行的∠EOD是同一个角，交换两端的名字不增加新角。

再固定OC，只配OB、OA，有2对。最后固定OB，只剩OA，有1对。轮到OA时，名单后面已经没有边了。

4+3+2+1=10

为什么这样能列全？任取两条不同的边，总有一条在名单前面，另一条在后面；轮到前面那条边时，这一对一定会登记。到了后面那条边时不再回头，因此也不会重复。

E、O、A在同一直线上，而且O在E和A之间，所以OE与OA方向相反，∠EOA＝180°。OB、OC、OD都在这条直线上方，方向互不重合，本图没有第二对相反方向的边。

OA与OE反向，沿上方量过的是平角。划去清单里的∠EOA这一对，原来的OA、OE都还在，其他角仍会用到它们。细灰短虚线只用来标名；图中没有给出各个角的具体度数。

10-1=9

完整清单共10对边，其中小于平角的角有9个。

从合格条目再加一次：3＋3＋2＋1＝9，与“全部10对减去1个平角”一致。四个最小扇面并不是全部角，几个相邻小扇面合起来的大角也在清单里。

自测： 只擦掉OD，保留OE、OC、OB、OA，E、O、A的位置关系不变。小于平角的角还有几个？先指出哪些原来的角用到了OD，再展开。

展开四条边的图和逐对核对

原来的∠EOD、∠DOC、∠DOB、∠DOA都用到了OD，共4个，擦掉OD时它们一起消失。不能只用9减1。

完整清单共6对边，其中小于平角的角有5个。

四条不同方向的边共有3＋2＋1＝6对，OE与OA仍反向，排除1个平角，剩5个。细灰短虚线只用来标名；图中没有给出各个角的具体度数。

也可从原来的9个合格角中去掉含OD的4个，9−4＝5。两种核对都指向同一组剩下的边。

再想一步： 只在原来的OA上添一个点M，会增加多少个角？

展开点名与实际方向的对照

O、M、A依次在同一直线上，OM与OA同向。点名多了一个，实际方向仍为5种，小于平角的角仍为9个。细灰短虚线只用来标名；图中没有给出各个角的具体度数。

例如∠MOB与∠AOB使用同一对实际方向，是同一个角的两种写法，不能重复登记。

共用顶点，先认实际方向 → 排好次序，每次只与后面的边配对 → 列全后按题意筛选 → 用改变条件后的边重新核对。 角的身份取决于顶点和两条实际的边，不只取决于名字、大小或小扇面的块数。

问“小于平角”时排除相反方向形成的平角，不能连钝角也一起去掉。换图后应重新找相反方向；原来减1的理由不一定保留。

与“共点射线逐对登记并排除平角”直接相关的近五年中考原卷题，目前尚未核实，暂缓收录。检索到的初一期末、练习册及中考模拟题不冒充原卷；已经核验的方位角或尺规作角题，也不能替代本题的角计数要求。