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wanlufei 的题本
初一数学·约 9 分钟·二维图解

第10题 · 角内添射线，角的总数怎么涨

按AB到AC的顺序，固定一条射线只配后面的射线，数出3、6、10个角，原有大角也要登记。添第k条内部射线新增k＋1个角；n＋2条射线两两配对，每角只计一次，得到(n＋1)(n＋2)/2。

题目

（1）如图 4-2-6①，如果过角的顶点，在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？

（2）如图 4-2-6②，如果过角的顶点，在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？

（3）如图 4-2-6③，如果过角的顶点，在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？

（4）如果过角的顶点，在角的内部作 n 条射线，那么一共有几个角？

图①

BDCA

图②

BDECA

图③

BDEFCA
图4-2-6：共同顶点是A，两边是AB、AC；图①、②、③内部依次有1条、2条、3条射线。方向只作示意，不表示等角；灰色折线只连接字母标签，不是射线。

答案：（1）3个；（2）6个；（3）10个。 第（4）问，n条不同的内部射线对应的角数是：

(n+1)(n+2)2\frac{(n+1)(n+2)}{2}

n表示内部射线条数，不包括外边AB、AC。

先认两条边，再按顺序登记

三幅图的顶点都叫A，外边都是AB、AC。图①内部有AD，图②有AD、AE，图③有AD、AE、AF。图中没有给出等分条件，不能把相邻小角当成一样大。

一个角由两条不同方向的射线确定。要数全，就从AB向AC依次登记：固定当前这条射线，只配排在它后面的射线。 这样一对边只出现一次，不会把同一个角反过来再数。

图①：别漏掉原来的大角

固定AB，与AD、AC分别组成∠BAD、∠BAC；再固定AD，只配后面的AC，得到∠DAC。共2＋1＝3个。

BDCA

灰色折线只连接字母标签，不参与数角；射线画长和各角大小仅为示意。

  • ∠BAD
  • ∠BAC
  • ∠DAC

本组已列出3个角；每项对应两条不同的射线，同一对只列一次。

AD把原来的角分成两个小角，但AB、AC仍在，原来的∠BAC也仍然存在。不能只数相邻射线间的小块。

图②：每换一条边，就少一个配对对象

顺序是AB、AD、AE、AC。AB配后面的3条，AD配后面的2条，AE配后面的AC；共3＋2＋1＝6个。登记表中的∠BAE跨过AD，也要计入。

BDECA

灰色折线只连接字母标签，不参与数角；射线画长和各角大小仅为示意。

  • ∠BAD
  • ∠BAE
  • ∠BAC
  • ∠DAE
  • ∠DAC
  • ∠EAC

本组已列出6个角；每项对应两条不同的射线，同一对只列一次。

图③：沿用同一登记方法

顺序是AB、AD、AE、AF、AC。固定AB有4个，固定AD有3个，固定AE有2个，固定AF有1个；共4＋3＋2＋1＝10个。

BDEFCA

灰色折线只连接字母标签，不参与数角；射线画长和各角大小仅为示意。

  • ∠BAD
  • ∠BAE
  • ∠BAF
  • ∠BAC
  • ∠DAE
  • ∠DAF
  • ∠DAC
  • ∠EAF
  • ∠EAC
  • ∠FAC

本组已列出10个角；每项对应两条不同的射线，同一对只列一次。

三幅图都能用同一动作数完：按顺序固定一边，只配后边。它同时登记小角和由几个小角合成的大角。

添一条射线，为什么会增加这些角

从图①到图②只新增AE，原有的AB、AD、AC没有改变。新角必定用到AE，否则它的两条边早已存在，就不是新角。

AE与这3条旧射线分别组成∠BAE、∠DAE、∠EAC，恰好新增3个。再添AF时，它与AB、AD、AE、AC分别配对，恰好新增4个。

没有内部射线时，原来已有∠BAC这1个角。所以添到三条时是：原有1个＋新增2个＋新增3个＋新增4个＝10个，不能漏掉开头的1。

一般地，添第k条内部射线之前，已有两条外边和k−1条内部射线，共k＋1条旧射线。新线与每条旧线各组成一个新角，因此新增k＋1个。所有新角都用到新线，旧角仍然保留，这就说明没有漏数或重复。

n条内部射线，怎样直接算总数

把全部射线的条数记为m：两条外边加n条内部射线，所以m＝n＋2。

为了直接计算，这一次先允许每条射线与其余m−1条都配一遍，共登记m×(m−1)次。这样会重复：例如AB配AD、AD配AB，都是同一个∠BAD。每个角恰好登记两次，因此除以2。

角的总数=m(m−1)2\text{角的总数}=\frac{m(m-1)}{2}

把m＝n＋2代入，得到：

(n+1)(n+2)2\frac{(n+1)(n+2)}{2}

这里的除以2是在去掉重复登记，不是在把图中的角平分。代入n＝1、2、3，分别得到3、6、10，与前面的逐对登记一致；n＝0时也得到1，正好是还没添线的原角。

先判断，再展开核对

自测一： 保留图③全部射线，只在射线AB上再标一点M。多了一个点名，角的个数会增加吗？

核对AM是否增加了新方向
B / MDEFCA

从A沿射线AB，依次经过B、M；这些点仍在同一条射线上。

灰色折线只连接字母标签，不参与数角；射线画长和各角大小仅为示意。

不会。AM与AB是同一条射线，只是多了一个点名。仍然只有5条不同方向的射线，角数仍是10；例如∠MAC与∠BAC是同一个角，不能重复计数。

自测二： 把图③内部射线的间隔改得不均匀，仍保持方向不同、位于角内，角数会变吗？然后再添第4条内部射线AG，又会增加几个？

核对外观变化与真正新增射线的区别

下图已经改变内部间隔，并添入第4条内部射线AG。

BDEFGCA

灰色折线只连接字母标签，不参与数角；射线画长和各角大小仅为示意。

只改变间隔，原来5条射线之间的配对仍在，角数还是10。改变外边的张角时，只要各内部射线仍不重合、不越过外边，理由也一样。

真正新增AG后，它能与AB、AD、AE、AF、AC分别配对，新增5个角，得到10＋5＝15个。也可用n＝4核对：5×6÷2＝15。变化的是射线数量时才增加配对；不能只凭图看起来更宽或更密就改变计数。

带走的关系

先认共同顶点与不同方向的射线→固定一边，只配后边→添线时只数新线与旧线的配对→求通式时先允许重复登记，再除以2。图中射线的长短、点名多少和间隔大小，都不能替代“有没有新增方向”的判断。

这些关系用于本题从同一顶点出发、在原角内部增加不同射线的情形。若题目另外限制要数哪一类角，还要按那条条件筛选，不能自行删除原有大角。

中考真题配套状态

与“角内添射线、逐对计数及新增角规律”直接相关的近五年中考真题，尚未核验原卷，暂缓收录。上面两道自测是本课自编练习。

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