第9题 · 六分之一的锐直钝之和，可能是多少
原题只要一个可能值：选∠A＝60°、∠B＝90°、∠C＝120°，先核类别再算出45°。拓展解释结果为何严格在30°与60°之间，并用倒推选角说明范围内每个值都能实现。
题目
若∠A为锐角，∠B为直角，∠C为钝角，请给出1/6(∠A＋∠B＋∠C)的一个可能值，并说明理由。
一个可能值是45°。 例如取∠A＝60°、∠B＝90°、∠C＝120°，分别是锐角、直角、钝角；三者的和是270°，六分之一就是45°。
题目只要求“一个可能值”。给出一组符合条件的角并算对，就能说明这个结果确实可能出现。
先选一组合法、容易计算的角
第一步，圈出“一个可能值”，再按三种角的定义选数。锐角大于0°且小于90°，直角等于90°，钝角大于90°且小于180°。
选60°、90°、120°，是因为它们容易判断类别，也容易相加。逐个核对：∠A＝60°符合锐角，∠B＝90°符合直角，∠C＝120°符合钝角。这些度数是我们选的例子，不是题目给定的数。
∠A＝60°
锐角要求：0°＜∠A＜90°。
符合∠A的条件。
∠B＝90°
直角要求：∠B＝90°。
符合∠B的条件。
∠C＝120°
钝角要求：90°＜∠C＜180°。
符合∠C的条件。
∠A、∠B、∠C是三个独立的角。题目没有说它们是同一个三角形的内角，不能套用三角形内角和180°。
把和分成六份，取其中一份
三个角的度数相加：60°＋90°＋120°＝270°。题目要这个和的六分之一，就是把270°平均分成六份，取其中一份。
实线条是当前度数，虚线轮廓是出发位置的参照。A、B、C的条长始终不变；移动位置不会增加或减少度数。
竖线将拼好的总条平均分成6份，粗框圈出其中一份。
270°÷6＝45°
度数条只表示三个量相加；移动条的位置不改变它代表的度数。反算45°×6＝270°，与刚才的和一致。到这里，原题已经答完；45°是一个可能值，不是唯一值。
拓展：所有可能值在哪里
先找不能越过的界限。∠A大于0°、∠B等于90°、∠C大于90°，所以和严格大于0°＋90°＋90°＝180°。同理，和严格小于90°＋90°＋180°＝360°。
两边都除以正数6，得到：
上下两条轴各用自己的刻度。箭头表示对应界限同除以6，不能用图上长度比较两个范围的宽度。
空心端点表示取不到，实心端点表示可以取到；界限要和角的分类条件一起核对。
图上的空心端点表示取不到。30°和60°只是界限，不是最小值、最大值。合法选角可以使结果越来越接近这两个数，但只要∠A仍是锐角、∠C仍是钝角，就不能碰到端点。
这一步说明所有合法结果都必须在范围内；还要说明范围内每个值是否都能实现。
从想要的结果倒推一组选角
∠B固定是90°，可选择的只有∠A、∠C。为方便构造，让∠C比∠A大90°：只要∠A是锐角，∠C就一定是钝角。这是我们的一种选法，原题没有要求这两个角必须相差90°。
这样总和就是2×∠A＋180°，六等分后等于∠A的三分之一再加30°。所以倒着算：先从目标减去30°，再乘3，作为∠A；取∠B＝90°，∠C＝∠A＋90°。
目标大于30°且小于60°，减30°后就在0°与30°之间；乘3得到的∠A严格在0°与90°之间，∠C也严格在90°与180°之间。再把∠A除以3、加30°，恰好算回原目标。因此范围内每个值都能实现。
例如目标40°，依次得到∠A＝30°、∠B＝90°、∠C＝120°，和为240°，六分之一为40°。
目标：40°
∠B固定为90°，可以选择的是∠A、∠C。先让∠C＝∠A＋90°。
只要0°＜∠A＜90°，就有90°＜∠C＜180°，两种角的类别同时符合条件。
这是方便构造的一种选法，原题没有额外规定∠A与∠C的关系。
总和＝2×∠A＋180°
总和÷6＝∠A÷3＋30°
要让结果等于目标，就倒着算：先从目标减去30°，再乘3，得到∠A。
先从目标减去30°，再乘3，作为∠A。
∠A＝(40°−30°)×3＝30°
取∠B＝90°。
∠C＝∠A＋90°＝120°。
30°＋90°＋120°＝240°
240°÷6＝40°，算回目标。
目标严格在30°与60°之间时，这个选法使0°＜∠A＜90°、90°＜∠C＜180°；∠B始终为90°。
在这个范围内，同样的倒推步骤总能选出符合分类的角，再按原式算回目标。
目标也可以是40.5°；同样的方法得到∠A＝31.5°、∠B＝90°、∠C＝121.5°，并不要求角度都是整数。
目标：40.5°
∠B固定为90°，可以选择的是∠A、∠C。先让∠C＝∠A＋90°。
只要0°＜∠A＜90°，就有90°＜∠C＜180°，两种角的类别同时符合条件。
这是方便构造的一种选法，原题没有额外规定∠A与∠C的关系。
总和＝2×∠A＋180°
总和÷6＝∠A÷3＋30°
要让结果等于目标，就倒着算：先从目标减去30°，再乘3，得到∠A。
先从目标减去30°，再乘3，作为∠A。
∠A＝(40.5°−30°)×3＝31.5°
取∠B＝90°。
∠C＝∠A＋90°＝121.5°。
31.5°＋90°＋121.5°＝243°
243°÷6＝40.5°，算回目标。
目标严格在30°与60°之间时，这个选法使0°＜∠A＜90°、90°＜∠C＜180°；∠B始终为90°。
在这个范围内，同样的倒推步骤总能选出符合分类的角，再按原式算回目标。
先判断，再展开核对
自测一： 有人取∠A＝∠B＝∠C＝90°，也算出45°。这能作为原题的理由吗？
核对三个角是否都符合条件
∠A＝90°
锐角要求：0°＜∠A＜90°。
不符合：∠A不是要求的锐角。
∠B＝90°
直角要求：∠B＝90°。
符合∠B的条件。
∠C＝90°
钝角要求：90°＜∠C＜180°。
不符合：∠C不是要求的钝角。
不能。计算结果45°没有错，但∠A不是锐角，∠C不是钝角。这组选角不合法。45°仍然是可能值，因为前面的60°、90°、120°提供了合法例子；结果相同不代表所选的角都符合题意。
自测二： 三种角的条件不变，把六分之一改成三分之一。同一组选角的结果怎样变化？完整范围怎样变化？
核对除数变小后的结果与范围
实线条是当前度数，虚线轮廓是出发位置的参照。A、B、C的条长始终不变；移动位置不会增加或减少度数。
竖线将拼好的总条平均分成3份，粗框圈出其中一份。
270°÷3＝90°
上下两条轴各用自己的刻度。箭头表示对应界限同除以3，不能用图上长度比较两个范围的宽度。
空心端点表示取不到，实心端点表示可以取到；界限要和角的分类条件一起核对。
同一个和改为除以3，结果是原来的两倍。例如270°除以3得到90°。完整范围变成大于60°且小于120°，两端仍取不到。除数从6变成3，是变小；结果与范围宽度都加倍。
带走的关系
求“一个可能值”→先选符合全部条件的一组数→代入计算并核对。求“所有可能值”→先说明哪些值不能取→再构造例子的一般方法，证明剩下的每个值都能实现。条件或除数改变时，要重新核对相应关系。
中考真题配套状态
与角的分类约束、和的可实现范围直接相关的近五年中考真题，尚未完成原卷核验，暂缓收录。上面两道自测是本课自编练习。
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