第8题 · 两根针一起走：累计转角与此刻夹角

题目

如图4-2-5，时钟中蕴含着许多数学知识。

（1）我们知道，分针和时针转动一周都是________°，分针转动一周是________ min，时针转动一周是12 h，等于720 min，所以分针每分钟转动________°，时针每分钟转动________°。

（2）从5:00到5:30，分针与时针各转动了多少度？

（3）时钟显示3:00时，时针与分针的夹角为多少度？

答案：（1）依次填360、60、6、0.5。（2）分针累计转180°，时针累计转15°。（3）3:00的两针夹角为90°。

关键是先认清所求：“一段时间内转过多少度”记录运动过程；“某个时刻两针夹角多大”比较当时的两个方向。 两者不能混算。

先建立钟面的两个已知关系

一周是360°。钟面上1到12把整圈平均分成12个大格，所以：

每个大格对应360°÷12＝30°。

分针长而细，时针短而粗。本题按理想钟表的匀速转动计算：相等的时间，转过相等的角度。 两根针都顺时针转，却不一样快；时针也持续移动，不是每到整点才跳一下。

（1）先统一时间，再求每分钟转几度

分针一圈用60 min。把整圈360°平均分成60份：

分针速度：360°÷60 min＝6°/min。

时针一圈用12 h；1 h＝60 min，所以12 h＝12×60＝720 min。再把整圈360°平均分成720份：

时针速度：360°÷720 min＝0.5°/min。

因此四个空依次是360、60、6、0.5。题干已在空后写有°或min，填空时不重复写单位。

同一段正的经过时间内，分针累计转角是时针的6÷0.5＝12倍。比较的是各自从出发位置转过的度数；不能把这个12倍关系套到两根针此刻的方位上。

（2）从5:00到5:30：两针都经过30分钟

先求经过时间：30−0＝30 min。每一分钟分针转6°，连续30分钟就有30个6°：

分针累计转角：6°/min×30 min＝180°。

同样的30分钟，每一分钟时针转0.5°：

时针累计转角：0.5°/min×30 min＝15°。

在起点5:00，分针指12，时针指5。在终点5:30，分针指6，时针在5和6之间的一半。虚线是出发方向，不是多出来的指针。

时针在5:00时，从12起顺时针量的方位已经是5×30°＝150°。再转15°，终点方位为150°＋15°＝165°。终点方位165°，与本次累计转角15°是不同的量。

反算核对：180÷6＝30 min，15÷0.5＝30 min，得到同一段经过时间。

（3）3:00这个时刻：数两针之间的大格

第三问换到3:00，按这个时刻重新看钟面。分针指12，时针指3，两针之间的较小角跨了三个大格：

3×30°＝90°，是直角。

这里没有给出从某时刻起经过多久，所以不把“时针从12走到3的90°”当成本次运动的累计转角。我们只用它定位此刻时针的方向。

任意时刻，先定位两根针，再取较小角

分别求两根针从12起顺时针量的当前方位，取0°到不足360°之间的值。先大减小；差不超过180°就直接取这个差，超过180°则取360°减去这个差。

原因是两根针把整圈分成两部分，两部分角度相加为360°。本课说的两针夹角取其中不大于180°的那个。例如7:00，时针方位210°，分针方位0°；210°超过180°，较小夹角是360°−210°＝150°。

累计转角可以大于360°。指针绕一圈后回到相同方位，不代表这一圈没有发生。求累计转角保留圈数，求当前位置才按整圈归位。

先自己判断，再展开核对

自测一： 从3:00到3:45，两针各累计转多少度？终点夹角能直接用这两个累计转角相减吗？

自测二： 从5:00起过60分钟，分针又指12。它是不是累计转了0°？两针终点夹角多大？

自测三： 7:00时，12到7顺时针有七个大格，为什么两针夹角不是7×30°＝210°？

带走的关系

先圈出“一段时间”还是“某个时刻”→一周度数除以所需时间求速度→累计转角用速度乘经过时间→当前位置加上出发方位并按整圈归位→两针夹角比较当前方向，取不大于180°的角。

这些关系用于本题的理想匀速钟表。同一经过时间的12倍关系用于累计转角；整圈归位用于方位；取较小部分用于两针夹角。 经过0分钟时，两针本次累计转角都是0°，不计算0÷0的比值，某个时刻的两针夹角仍可非零。