第7题 · 采购账要同时过两本账：数量账和金额账

(1) 设足球 x 个：80x+40(12−x)=640 ⟹ x=4，足球 4、排球 8。(2) 设足球篮球各 y 个：m+2y=12 且 40m+140y=600（640−40 剩余），解得 m=8。

题目

“文明其精神，野蛮其体魄”。为进一步提升学生体质健康水平，某市某校计划用 640 元购买 12 个体育用品，备选体育用品及单价如表 5-3-1 所示：

备选体育用品	足球	篮球	排球
单价/元	80	60	40

（1）若 640 元全部用来购买足球和排球共 12 个，求能购买足球和排球各多少个；

（2）学校先用一部分资金购买 m 个排球，再用剩下的资金购买足球和篮球，购买足球和篮球数量相同，三种体育用品共 12 个，此时还剩 40 元，求 m 的值。

答案：（1）足球 4 个、排球 8 个；（2）m = 8。

设足球 x 个，排球就是 12−x 个（数量账先用上）。金额账：

80x + 40(12−x) = 640

80x + 480 − 40x = 640 ⟹ 40x = 160 ⟹ x = 4。

足球 4 个、排球 8 个。核对：4×80 + 8×40 = 320+320 = 640 ✓，正好花完、正好 12 个。

设足球、篮球各买 y 个（“数量相同”）。此时有三个量：排球 m、足球 y、篮球 y。

数量账（三种共 12 个）：m + 2y = 12。

金额账（总 640 元，最后还剩 40 元 ⟹ 花掉 600 元）：40m + 80y + 60y = 600，即 40m + 140y = 600。

由数量账得 y = (12−m)/2，代入金额账：

40m + 140×(12−m)/2 = 600 ⟹ 40m + 70(12−m) = 600 ⟹ 40m + 840 − 70m = 600 ⟹ 30m = 240 ⟹ m = 8。

此时 y = (12−8)/2 = 2：排球 8 个（320 元）+ 足球 2 个（160 元）+ 篮球 2 个（120 元）= 600 元，剩 640−600 = 40 ✓，总个数 8+2+2 = 12 ✓——两本账全平。

方程 40m+70(12−m)=600 是一次方程，本就只有一个解；但别忘整数性核对：y=(12−m)/2 必须是非负整数，m 得与 12 同奇偶。m=8 合格；若解出 m=7，y=2.5 个球——半个球买不来，就该回头查方程或判定无解。

自测：第（2）问改成“花光所有钱（不剩 40 元）”，其他不变，m 是多少？

展开核对

金额账变成 40m+140y=640。代入 y=(12−m)/2：40m+70(12−m)=640 ⟹ 840−30m=640 ⟹ 30m=200，m=20/3 不是整数——没有可行的方案。这种“解出来但不成立”正是应用题要报告的结果。

线索（单价表 + “共几个”“花多少”“剩多少”）→ 核心关系（数量账与金额账同时成立）→ 动作（问几个未知量就找几本账；设其中一个，其余用数量账表示）→ 适用条件（解要过“整数、非负、不超预算”三道关；解出分数个物品时如实报无解）。