第5题 · 球有多大，水面就抬多高

底面积不变：3 个小球抬水 6 cm ⟹ 每个小球抬 2 cm；2 个大球抬 6 cm ⟹ 每个大球抬 3 cm。15 个球从 26 抬到 64 共抬 38 cm：设大球 x 个，3x+2(15−x)=38 ⟹ x=8。

题目

如图，一个底面积一定的圆柱形水桶中装有水，水面高度为 26 cm。放入 3 个体积相同的小球后，水面高度为 32 cm；再放入 2 个体积相同的大球后，水面高度为 38 cm。若放入 15 个球（大小球混合）后水面高度为 64 cm，则其中大球有多少个？

桶底面积不变，水位升高多少 = 球占了多少体积。3 个小球抬 6 cm ⟹ 每个小球抬 2 cm；从 32 再到 38，2 个大球抬 6 cm ⟹ 每个大球抬 3 cm。第三次从 26 直接到 64，抬 38 cm——大小球各有几个，正好列方程。

按步骤听推理，也可以暂停后对照下方的文字讲解。

1. 先看升高量与适用条件

桶的底面积不变，在球完全浸没、水没有溢出的情况下，球排开的水体积，等于桶的底面积乘水面升高量。要比较的是水面升高了多少，不是水面的总高度。

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答案：大球有 8 个（小球 7 个）。

桶的底面积不变，水位升高 = 球的总体积 ÷ 底面积，所以水位升高量正比于球的总体积。

放入 3 个小球：26 → 32，抬了 6 cm。每个小球抬 6÷3 = 2 cm。

再放入 2 个大球：32 → 38，又抬了 6 cm。每个大球抬 6÷2 = 3 cm。

（大球是小球的 1.5 倍体积——两种球的“大小关系”就这样被水位报了出来。）

第三次从 26 直接升到 64，抬了 64−26 = 38 cm。15 个球里设大球 x 个，则小球 15−x 个：

3x + 2(15−x) = 38

去括号：3x+30−2x=38 ⟹ x=8。

大球 8 个，小球 15−8=7 个。核对：8×3+7×2 = 24+14 = 38 ✓。

自测：若第三次放入 15 个球后水面高度为 62 cm（其他条件不变），大球有几个？

展开核对

抬升 62−26=36 cm：3x+2(15−x)=36 ⟹ x+30=36 ⟹ x=6，小球 9 个。抬得少了，大球就得少——账面方向先对，再动笔。

线索（往不变容器里放东西、报水位变化）→ 核心关系（水位升高量 = 放入物的总体积 ÷ 底面积，“单价”由实验算出）→ 动作（每次实验算出单个的抬水量，再用“个数×单价”求和等于总抬升）→ 适用条件（水不溢出、底面积不变；若换桶或溢出，单价就得重算）。