wanlufei 的题本2026年10月19日收录

初一数学·约 14 分钟·二维图解

第8题 · 除方：n个数连除，为什么剩n−2个因数

下标数原数的个数，连除从左向右。第一个a不变，后n−1个除号改成乘倒数；前两个因数乘成1，剩n−2个倒数相乘。数清负号，再处理原式的减法。

**【概念学习】**定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫作除方，如2÷2÷2，(−3)÷(−3)÷(−3)÷(−3)等。类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2₃，读作“2的下3次方”，(−3)÷(−3)÷(−3)÷(−3)记作(−3)₄，读作“−3的下4次方”。一般地，把

\underbrace{a\div a\div\cdots\div a\div a}_{n\text{个}}\quad(a\ne0)

记作aₙ，读作“a的下n次方”。

直接写出计算结果：3₃=，(−1/3)₃=。

**【深入探究】**我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

\underbrace{2\div2\div2\div2}_{\text{除方}}=2\times\frac12\times\frac12\times\frac12=\underbrace{\left(\frac12\right)^2}_{\text{幂的形式}}

（1）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式：4₆=，(−1/4)₇=；

（2）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式：aₙ=________。

**【结论应用】**计算：2²⁰²³−(−1/2)₂₀₂₄=________。

**答案：概念学习为1/3、−3；深入探究（1）为(1/4)⁴、(−4)⁵，（2）为(1/a)ⁿ⁻²；结论应用为2²⁰²²。**其中a≠0，连除的原数个数n至少为2。n=2的情形下面回到定义核对。

先保留第一个数，后面每个除号都改成乘倒数。**改写后共有n个因数；前两个相乘成1，才剩n−2个倒数相乘。**乘成1的一对仍在式子里，不能当成0删去。

先准备三个基础：乘除同级、没有括号时从左向右；除以非零数等于乘它的倒数；乘方的指数数相同因数的个数。最后还要把分配律倒着用，正文会说明这一步。

一、下标数原数个数，连除从左算

3₃表示3÷3÷3，有3个数、2个除号。

3\div3\div3=(3\div3)\div3=1\div3=\frac13.

3³表示3×3×3=27。上标和下标表达的运算不同，先按本题定义读符号。

原卷深入探究的示范有四个2，不是三个：

2\div2\div2\div2=2\times\frac12\times\frac12\times\frac12=1\times\frac12\times\frac12=\left(\frac12\right)^2.

第一个2没有改成1/2，只有后面三个除号各变成乘倒数。四个乘法因数中，前两个乘成1，还剩两个1/2，因此幂的指数是2。

原卷示例：2÷2÷2÷2，4个原数，3个除号。

位置	原来	等值改写
第1个	2	保留 2
第2个	÷2	→ ×1/2
第3个	÷2	→ ×1/2
第4个	÷2	→ ×1/2

前两个因数乘成1，余2个1/2相乘，即(1/2)²=1/4。

四个2连除，后三个改为乘倒数，配成1后剩两个因数。

二、概念学习的两个空

第一个是3₃：

3_3=3\times\frac13\times\frac13=1\times\frac13=\boxed{\frac13}.

完整的3个因数：(3)×(1/3)×(1/3)。前两个相乘为1，第3个放到剩余区。

虚线空框只标起点，不另算一个因数。箭头表示把同一个因数放到剩余区，值不变。

1×(1/3)=1/3。原来的3个因数，前2个乘成1，剩1个。

完整的三个因数全保留，前两个的乘积为1；虚线空框只标原位置。

第二个是(−1/3)₃。负分数的倒数仍为负：−1/3的倒数是−3，因为两者相乘为1。

\left(-\frac13\right)_3=\left(-\frac13\right)\times(-3)\times(-3)=1\times(-3)=\boxed{-3}.

完整的3个因数：(−1/3)×(−3)×(−3)。前两个相乘为1，第3个放到剩余区。

虚线空框只标起点，不另算一个因数。箭头表示把同一个因数放到剩余区，值不变。

1×(−3)=−3。原来的3个因数，前2个乘成1，剩1个。

完整的三个因数全保留，前两个的乘积为1；虚线空框只标原位置。

一共有三个负因数，奇数个负号，结果为负。正数及其倒数都为正；换成正底数时，不能凭因数个数就添上负号。

三、深入探究：答案要写成幂

4₆有六个原数，改写后是一个4、五个1/4：

4_6=4\times\left(\frac14\right)^5=\boxed{\left(\frac14\right)^4}=\frac1{256}.

4与五个1/4中的一个相乘为1，剩四个。题目要求的幂式是(1/4)⁴，1/256用于核对数值。

底数(4)，下标6：有6个原数、5个除号。

原位置	原运算	乘法因数
1	(4)	(4)
2	÷(4)	×(1/4)
3	÷(4)	×(1/4)
4	÷(4)	×(1/4)
5	÷(4)	×(1/4)
6	÷(4)	×(1/4)

共有0个负因数。前2个相乘为1，还剩4个倒数。

幂的形式：(1/4)⁴=1/256。

幂的底数为倒数，指数为前两个因数乘成1后剩下的因数个数。

(−1/4)₇改写后是一个−1/4、六个−4。前两个相乘为1，还剩五个−4：

\left(-\frac14\right)_7=\left(-\frac14\right)\times(-4)^6=\boxed{(-4)^5}=-1024.

底数(−1/4)，下标7：有7个原数、6个除号。

原位置	原运算	乘法因数
1	(−1/4)	(−1/4)
2	÷(−1/4)	×(−4)
3	÷(−1/4)	×(−4)
4	÷(−1/4)	×(−4)
5	÷(−1/4)	×(−4)
6	÷(−1/4)	×(−4)
7	÷(−1/4)	×(−4)

共有7个负因数。前2个相乘为1，还剩5个倒数。

幂的形式：(−4)⁵=−1024。

幂的底数为倒数，指数为前两个因数乘成1后剩下的因数个数。

幂的底数是整个−4，用括号括起来。改下标时，剩余因数的奇偶性也会改变，括号与负号都要保留。

四、一般式：n个因数，为什么减去2

a是非零有理数，n记录原数的个数。按本题连除至少有一个除号，取整数n≥2。

a_n=a\times\underbrace{\frac1a\times\frac1a\times\cdots\times\frac1a}_{n-1\text{个倒数}}.

第一个a不变；n−1个除号各变成乘1/a。所以总共有1+(n−1)=n个因数。

a≠0保证倒数存在，并且a×(1/a)=1。把这一对放一起，使用了两个因数，剩下n−2个倒数。它们是同一个数1/a反复相乘：

\boxed{a_n=\left(\frac1a\right)^{n-2}}.

指数n−1数的是改写后的全部倒数；n−2数的是前一对乘成1后剩下的倒数。这由连除和倒数定义推出，不只是在几个例子里碰巧成立。

五、结论应用：先算除方，再处理减法

先分清原式两部分：2²⁰²³是普通乘方；(−1/2)₂₀₂₄才是除方。

后者的第一个−1/2不变，后面2023个除号都改成乘−2。前两个因数(−1/2)×(−2)=1，还剩2022个−2。2022为偶数，所得是正数：

\left(-\frac12\right)_{2024}=(-2)^{2022}=2^{2022}.

现在要算2²⁰²³−2²⁰²²。前者比后者多一个因数2，可写成2×2²⁰²²。两项都有同一个因数，于是把分配律倒过来用：

2^{2023}-2^{2022}=2\times2^{2022}-1\times2^{2022}=(2-1)\times2^{2022}=\boxed{2^{2022}}.

这就像3×5−2×5=(3−2)×5一样，计算相同因数一共有几份。最后的减号来自原题，不能随除方的改写一起消失。

检查自己是否看懂

2³与2₃分别表示什么？2÷(2÷2)还等于2₃吗？
用正数1/2作底数，(1/2)₃的结果能为负吗？先找出三个乘法因数再解释。

展开核对答案与理由

1. 2³=2×2×2=8；2₃=(2÷2)÷2=1/2。2÷(2÷2)=2÷1=2，括号改变了运算顺序，已经不是原来的连除。

2. 不能。三个因数是1/2、2、2，都为正。前两个相乘为1，剩2，结果是正2。原数的个数不能独自决定正负，还要看负因数有几个。

带走这条做法：**回到定义 → 保留第一个数，后面取倒数 → 配成1，数剩余因数 → 以倒数为底数写成幂。**先看括号和非零条件，再分别检查因数个数与负号。

真题迁移：指数数的是相同因数

2023·江西·第4题

这道题检查本课“把相同因数合写成幂”的一步。它用普通乘方，先展开括号再数因数即可；m在这里是数，不是本课表示个数的n。

计算 $(2m^2)^3$ 的结果为（　　）。

A. $8m^6$ 　　B. $6m^6$ 　　C. $2m^6$ 　　D. $2m^5$

展开真题答案与解析

选A。外面的指数3表示把整个(2m²)当作因数，重复三次。每一份都有两个因数m：

\begin{aligned}(2m^2)^3&=(2m^2)(2m^2)(2m^2)\\&=(2\times2\times2)(m\times m\times m\times m\times m\times m)\\&=8m^6.\end{aligned}

三个因数2相乘为8，六个因数m合写成m⁶；不能把“重复相乘三次”改为“乘以3”。

出处：2023江西中考数学原卷第1页第4题。复用已核验的完整原题和同页卷首证据，题干及四个选项保留，无附图；答案默认折叠。

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