第1题 · 2 的 2024 次方，末位是几

题目

已知 2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，2⁶=64，2⁷=128，2⁸=256，则 2²⁰²⁴ 的末位数字是（　　）。

A. 2　　B. 4　　C. 8　　D. 6

答案：D，末位数字是 6。

只求末位，就先跟着每次乘 2，看看个位怎样变。末位按 2、4、8、6 每四个一组重复。2024 正好分成 506 组，最后一个是 6。

先会这两件事

2³ 表示 3 个 2 相乘，等于 8；指数 3 是因数 2 的个数。末位数字就是个位数字。

下面会用有余数的除法分组。例如 9÷4=2……1，表示分成两组后还剩一个。

第一步：指数与末位上下对齐

指数	1	2	3	4	5	6	7	8
乘方的结果	2	4	8	16	32	64	128	256
末位	2	4	8	6	2	4	8	6

先看到的是：前四个末位与后四个一样。这给了我们一个猜想——以后也许每四个重复一次。

接下来要说明它为什么一直重复。

第二步：只看个位，为什么就够了

从题目给的 2⁸=256 接着算：

256×2 = 250×2 + 6×2 = 500+12 = 512。

250×2 的个位是 0。新的个位只看 6×2=12 的个位，因此 2⁹ 的末位是 2。

再乘一次 2：512×2=1024。个位看 2×2=4，因此 2¹⁰ 的末位是 4。

这个理由对其他数也成立：把个位拿开，剩下的部分都是 10 的倍数。它乘 2 后，个位仍是 0。因此，新个位只由原来的个位乘 2 决定。

现在可以一直沿这条规则接下去：

2 → 4 → 8 → 6 → 2 → 4 → 8 → 6 → ……

每个箭头都表示“乘 2，再取个位”。回到同一个个位 2 后，后面的做法相同，接出的末位也相同。所以每四个组成一组，每组都是 2、4、8、6。这样重复的一组有 4 个数，就说周期是 4。

第三步：2024 个末位，怎样分组

组	这一组的指数	对应末位
第 1 组	1、2、3、4	2、4、8、6
第 2 组	5、6、7、8	2、4、8、6
……	……	每组都相同
第 506 组	2021、2022、2023、2024	2、4、8、6

2024÷4=506，没有剩余。也就是：2024=4×506。

第 2024 个是第 506 组的第 4 个，末位是 6，所以选 D。

换一个底数，还能直接除以 4 吗

先算 4 的前几次乘方：4、16、64、256。末位是 4、6、4、6……每两个一组。

所以换底数后，要先重新确定一组有几个。4 的循环有 2 个，求它的乘方末位时，应把指数除以 2。

这套做法适用于这里的正整数底数、正整数指数。下次遇到大乘方的末位，先写出末位怎样变化，说明为什么重复，再用指数分组。

检查自己是否看懂

1. 有人说：“2024÷4 余 0，所以 2²⁰²⁴ 的末位取第一位 2。”用一个小乘方说明错在哪里。
2. 4²⁰²⁵ 的末位是几？为什么这次除以 2？
3. 如果从 2² 开始抄末位，第一个是 4。还能直接把指数除以 4，当作这排里的位置吗？

展开核对答案与理由

1. 用 2⁴=16 即可核对。4÷4 余 0，第 4 个末位是 6；余 0 表示最后一组刚好排满。

2. 末位是 4。4 的末位按 4、6 每两个重复，2025÷2=1012……1，取这一组的第 1 个数 4。

3. 要先调整位置。从 2² 起抄，2ⁿ（n≥2）是这排的第 n−1 个。原来的“指数就是位置”以从 2¹ 开始为条件。回到从 2¹ 起写，最不容易数错。

真题迁移：同样先确认一组，再按位置分组

2023·山东济宁·第 10 题

这里仍用“按给定规则算出一轮，再按位置分组”的方法。需要用到负分数的四则运算；还不熟悉时，先完成上面的自测。

a₁ 是第一个数，a₂ 是第二个数。题中的分式表示：把前一个数加 1，再除以“1 减去前一个数”，就得到下一个数。

已知一列均不为 1 的数 $a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n$ 满足如下关系： $a_2=\frac{1+a_1}{1-a_1}$， $a_3=\frac{1+a_2}{1-a_2}$， $a_4=\frac{1+a_3}{1-a_3}$，……， $a_{n+1}=\frac{1+a_n}{1-a_n}$， 若 $a_1=2$，则 $a_{2023}$ 的值是（　　）。

A. $-\frac12$　　B. $\frac13$　　C. −3　　D. 2

展开真题答案与解析

答案：A，负二分之一。

先把第一个数 2 放进题目给的规则，求第二个数；再把第二个数放进去，依次算下去：

第二个数：(1+2)÷(1−2)=−3。

第三个数：[1+(−3)]÷[1−(−3)]=−1/2。

第四个数：[1+(−1/2)]÷[1−(−1/2)]=1/3。

第五个数：(1+1/3)÷(1−1/3)=2，回到第一个数。

每次都用同一条规则，回到 2 后，后续计算就会重复。因此从第一项开始，每组都是 2、−3、−1/2、1/3。

2023=4×505+3，第 2023 项是组内第 3 个，等于 −1/2。这里的循环有 4 个，是按题目规则算出来的。

来源：2023 年济宁中考数学原卷第 3 页第 10 题，题干与选项已逐项核对。

需要复习分组，可看整组循环课。回到练习册本专题。