第6题 · 被3整除：原数为什么能换成数字和

题目

嘉淇上小学时得知“一个数的各个数位上的数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。”她后来做了如图3-3-12所示的分析：

嘉淇的分析：

$$\begin{aligned}258&=2\times100+5\times10+8\\&=2\times(99+1)+5\times(9+1)+8\\&=2\times99+2+5\times9+5+8\\&=(2\times99+5\times9)+(2+5+8)\\&=3(2\times33+5\times3)+3\times5.\end{aligned}$$

因为2×33+5×3为整数，5为整数，

所以3(2×33+5×3)+3×5能被3整除，所以258能被3整除。

图3-3-12（按原图复原分析过程）

**（1）**通过计算验证258能被3整除；

**（2）**用嘉淇的方法说明4374能被3整除；

**（3）**设$\overline{abcd}$是一个四位数，a、b、c、d分别为对应数位上的数字，请说明若a+b+c+d能被3整除，则这个数也可以被3整除。

答案：（1）258÷3=86，商是整数，所以能被3整除。（2）4374=3×1452+18=3×1458，所以能被3整除。（3）四位数按数位拆开后，等于一个3的倍数加上a+b+c+d；已知数字和也是3的倍数，因此原数能被3整除。

学完要能自己解释：**原数不是数字和，但原数减去数字和，总是9的倍数。**判断能否被3整除时，这一部分不留下余数，才可以只看数字和。

先确认两个已有知识：整数除以3没有余数，叫能被3整除；千、百、十、个位分别表示几个1000、100、10、1。下面拆算式只用数位和分配律，不需要先学同余符号。

一、先用计算验证258

商86是整数，没有余数。这就完成第（1）问。原题框内还给出另一条分析：258=(2×99+5×9)+(2+5+8)=243+15，两部分都能被3整除。

二、照着数位，把4374拆成两部分

先从千位看：4×1000要留下数字4，就把1000分成999和1。

这三个式子都等于4000。4×999与4是拆写后的两个加数，并没有把4000变小。

观察千位：4×1000=4000。

1000=(999)+1，先留下数字4。

4×(999+1)

4×1000=4×999＋4=3996＋4。

箭头表示向下归类，空框是位置参照。框的大小不表示数值大小。

归类后：3996＋4=4000，总值不变。

百位、十位也这样拆。个位原本就是4个1，不必再拆；归类时它对9的倍数部分贡献0，对数字和贡献4。

数位与数字	9的倍数部分	数字自己
千位4	3996	4
百位3	297	3
十位7	63	7
个位4	0	4

4374=4356＋18。右列只加各位数字，不乘数位。

个位不再拆分，9的倍数部分记0；0也是9的倍数。

左列相加：3996+297+63+0=4356，是3×1452。右列相加：4+3+7+4=18，是3×6。

所以4374能被3整除。最后一步把两个完整的3的倍数合在一起，用的是分配律。这里的18是算出的数字和，不是原题额外给出的条件。

三、把同一理由用于任意四位数

$\overline{abcd}$表示千位a、百位b、十位c、个位d组成的数，不表示a×b×c×d。a取1到9，b、c、d各取0到9，都是整数。

abcd表示四位数，不表示a×b×c×d。

数字与数位	这一位表示	等值拆写
a：千位	1000a	999a+a
b：百位	100b	99b+b
c：十位	10c	9c+c
d：个位	d	d

a取1到9；b、c、d各取0到9，都是整数。

第一部分：999a+99b+9c

=3(333a+33b+3c)，一定能被3整除。

第二部分：a+b+c+d，题设已知能被3整除。

两个3的整数倍相加，仍是3的整数倍。

333a+33b+3c是整数，所以第一部分是3的整数倍。第二部分a+b+c+d已知能被3整除。两部分相加，仍是3的整数倍。这就说明第（3）问对符合条件的任意四位数成立，不是只核对4374这一个例子。

四、数字和不是3的倍数，为什么也能下结论

前面证明了“数字和能被3整除，原数也能”。要使用相反情形，还需补上一条理由。

以581为例：

581=567＋14=3×189＋14。

数字和：14=3×4＋2。

原数：581=3×193＋2。

余数同为2，原数和数字和都不能被3整除。商不必相同。

581=567+14=3×189+14。拿走189个完整的3以后，剩下的14再除以3，商4余2。因此581=3×193+2，也余2。

同样，任意位数的十进制非负整数，减去数字和后，各数位只剩9、99、999、…的整数倍，都是完整的3的倍数。加上或减去这些完整的倍数，不改变除以3的余数。所以原数与数字和除以3的余数相同；其中一个余0，另一个也余0。

这不是说“原数等于数字和”，也不是说两个商相同。581÷3商193余2，14÷3商4余2；相同的是余数。

检查自己是否看懂

1. 五位数31415能被3整除吗？只改变最后一位，末位有哪些选择？其中最大的数是多少？
2. 能直接用“数字和能被5整除”来判断原数能否被5整除吗？试核对14与15。

展开核对答案与理由

1. 3+1+4+1+5=14，不能被3整除。其余四位数字的和为9，末位可以是0、3、6、9；分别得到31410、31413、31416、31419。最大的是31419。只找到31416，还没有检查完全部可能的数字。

2. 不能。14的数字和是5，但14不能被5整除；15能被5整除，数字和6却不能。上面的理由针对3成立，因为9、99、999都是3的倍数；它们不是5的倍数，不能照搬这个依据。

做这类说理题可以抓住：**想建立“原数—数字和”的联系 → 按数位展开 → 每位留下数字自己 → 余下部分提出3 → 用整数倍说明结论。**探索中的0也适用，因为0=3×0；位数与数字改变时，仍检查同一关系。

真题迁移：写成3乘整数

2023·河北·第6题

这题检验“证明对任意整数成立，就把整个式子写成3×整数”这一步。它不是用数字和直接判断的题。平方表示同一个式子乘两次，展开时逐项使用分配律即可；未学过乘法公式也可按下面的四项展开核对。

若k为任意整数，则$(2k+3)^2-4k^2$的值总能（　　）

• A. 被2整除
• B. 被3整除
• C. 被5整除
• D. 被7整除

展开真题答案与解析

选B。先把平方写成两个相同的因数，再展开：

$$\begin{aligned}(2k+3)^2-4k^2&=(2k+3)(2k+3)-4k^2\\&=4k^2+6k+6k+9-4k^2\\&=12k+9=3(4k+3).\end{aligned}$$

k为整数，4k+3也为整数，因此原式总能被3整除。若k=0，原式等于9，不能被2、5或7整除，另外三个选项都不是“总能”。只试k=0能排除错误选项；3(4k+3)才说明B对任意整数k成立。

出处：2023河北中考原卷文档预览。对照第1页卷首和第2页第6题逐字核验，题目无附图，四个选项完整保留；答案默认折叠。

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