第3题 · 树苗长 n 年，高多少厘米

题目

测得一种树苗的高度与树苗生长的年数有关的数据如表 3-3-1 所示（树苗原高 100 cm）。

表 3-3-1

树苗生长的年数	1	2	3	4	…
树苗的高度/cm	100+5	100+10	100+15	100+20	…

假设以后每年树苗的高度的变化规律与表中相同，请用含 n（n 为正整数）的代数式表示生长了 n 年的树苗的高度：________cm。

答案：(100+5n) cm，n 为正整数。

原高是 100 cm。题目假设以后每年仍按表中的规律长高，每年增加 5 cm。从起初到生长 n 年末，经历 n 次增加，所以累计长高 5n cm，再加上原高。

先分清三个量

• 原高：开始记录时已有的 100 cm，只计算一次。
• 每年长高：相邻两年之间增加的 5 cm。
• 累计长高：到某一年为止，所有年份增加量的和。例如三年共长高 15 cm。

这里需要会用乘法表示相同加数的和：3 个 5 相加，就是 5×3=15。

第一步：把原表的两部分分开

生长年数	1	2	3	4
原高/cm	100	100	100	100
累计长高/cm	5	10	15	20
高度/cm	105	110	115	120

注意：第三年那格的 15 cm 是三年累计长高，不是第三年这一年又长了 15 cm。

第三年这一年长高多少，要与第二年比较：115−110=5 cm。也可以比较累计部分：15−10=5 cm。

只看到前四格，还不能证明以后一定这样长。题目中的“假设以后每年……变化规律与表中相同”是继续推算的依据。

第二步：从起初开始，数清一年一年的变化

把尚未经过一年的时刻记作“起初”，也可以写成 0 年。此时高度就是 100 cm。

1. 起初（0 年）100 cm
2. 第 1 次增加：+5 cm
   生长 1 年后105 cm
3. 第 2 次增加：+5 cm
   生长 2 年后110 cm
4. 第 3 次增加：+5 cm
   生长 3 年后115 cm

从起初到一年末，有 1 段一年，增加 1 次；从起初到三年末，有 3 段一年，增加 3 次。

因此，从起初到 n 年末，增加 n 次。图上会有起初与各年末共 n+1 个时刻，但增加次数是相邻时刻之间的 n 段，不能混在一起数。

图框只是记录数据，不按树苗高度比例画，也不表示树苗在一年中的实际生长过程。原题要求 n 为正整数；0 年只是帮助核对起点。

第三步：把 n 次相同的增加写成乘法

每一年增加 5 cm，n 年就有 n 份 5 cm：

$$\text{累计长高}=5\times n=5n\ (\mathrm{cm})$$

再加上只计算一次的原高：

$$\text{高度}=100+5n\ (\mathrm{cm})$$

这对任意符合题目假设的正整数 n 都成立，理由是每一年的增加量相同，n 年有 n 份，而不是只因为试过的几个数碰巧对上。

最后代回核对：n=1 时为 100+5=105；n=4 时为 100+20=120，都与原表一致。

第四步：含 n−1 的式子，什么时候也对

如果写成 100+5(n−1)，当 n=1 时只得到 100 cm，漏算了第一年长高的 5 cm。

但不能因此记成“n−1 永远不对”。先看它配的起点是什么：

从哪里开始算	起点高度	到 n 年末还增加几次	高度式
起初	100 cm	n 次	100+5n
一年末	105 cm	n−1 次	105+5(n−1)

从一年末到 n 年末，少算了第一年的那一次增加，但第一年长高的 5 cm 已经包含在 105 里。所以两种正确写法相等：

$$105+5(n-1)=105+5n-5=100+5n$$

例如算三年末高度：从起初算是 100+5×3=115；从一年末算是 105+5×2=115。

检查自己是否看懂

1. 另一题说的是“第一年末高 80 cm，以后每年长高 3 cm”。第三年末多高？第 n 年末应怎样写？
2. 如果本题前四年每年长高 5 cm，从第五年开始每年只长高 3 cm，第五年末还能直接用 100+5n 吗？

展开核对答案与理由

1. 第三年末高 86 cm。从第一年末到第三年末，只有两次增加：80+3×2=86。一般写作 80+3(n−1)，n≥1。若题目改成“原高 80 cm”，才是 80+3n；两个起点不能混用。

2. 不能继续直接用。第四年末高 120 cm，第五年这一年增加 3 cm，因此第五年末是 123 cm。原式在 n=5 时得到 125 cm，因为它仍按每年增加 5 cm 来算。条件变了，计算也要跟着变。

这类题先找 起点、每次增加量、经历次数，再算“起始量＋每次增加量×次数”。只有增加量保持相同，才能把它们合成这种乘法。这里按题目的假设建模，不表示真实树苗永远等速长高。

真题迁移：从第 1 图到第 8 图，有几次增加

2024·重庆 B 卷·第 7 题

菱形是四条边相等的四边形。这题只需数图中的菱形，不用菱形的其他定理。与上面的树苗题一样，先找起点，再数增加次数。

用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有 2 个菱形，第②个图案中有 5 个菱形，第③个图案中有 8 个菱形，第④个图案中有 11 个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　）。

图 ①

图 ②

图 ③

图 ④

A. 20　　B. 21　　C. 23　　D. 26

展开真题答案与解析

答案：C，23 个。

先比较：5−2=3，8−5=3，11−8=3。再回到图中确认：每次向右延续，会在三排中各添一个菱形，因此每次增加 3 个。这是题目“按此规律”所指的继续方式。

第①图已有 2 个。从第①图到第⑧图，经过 8−1=7 次增加：

$$2+3\times(8-1)=23$$

一般地，第 n 图有 2+3(n−1)=3n−1 个。这里用 n−1，是因为起点已经是第①图；树苗题的起点在一年都还没经过时，所以从起初到 n 年末有 n 次增加。

来源：重庆 2024 年中考数学 B 卷原卷版公开预览第 1 页卷名、第 2 页第 7 题；完整文字、选项与图已逐项核对，图按题意重绘。

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