第4题 · 先找倒数，再把函数值配成 1

题目

对于正数 x 规定 $f(x)=\frac{1}{1+x}$，例如：

$$f(3)=\frac{1}{1+3}=\frac14,\qquad f\!\left(\frac15\right)=\frac{1}{1+\frac15}=\frac56$$

则 $f(2023)+f(2022)+\cdots+f(2)+f(1)$

$$\quad+f\!\left(\frac12\right)+f\!\left(\frac13\right)+\cdots+f\!\left(\frac{1}{2022}\right)+f\!\left(\frac{1}{2023}\right)=\underline{\qquad\qquad}$$

答案：4045/2。

先找括号里的数：2 与 1/2、3 与 1/3、…、2023 与 1/2023 都互为倒数。它们各自代入后，两个 f 的结果正好相加为 1。共 2022 对，再加中间唯一的 f(1)=1/2。

先认清 f：括号里的数与算出的结果不同

这里的 f 只是题目规定的一种计算记号。把括号里的数放到 x 的位置，再计算 1/(1+x)，不需要先学函数图像。

例如，f(3) 不是“f 乘以 3”，而是：

$$f(3)=\frac{1}{1+3}=\frac14$$

输入 1/5 时，整个 1/5 都要代入。先算分母，再用 1 除以这个分母：

$$f\!\left(\frac15\right)=\frac{1}{1+\frac15}=\frac{1}{\frac65}=\frac56$$

需要会的知识是：代入、倒数、分数加法与分数的基本性质。两个数相乘得 1，就互为倒数，例如 2×(1/2)=1。

题给的 3 与 1/5 不是倒数，这两个例子只是在说明怎样代入，不能把它们硬配成 1。

第一步：先算 2 与 1/2 对应的两个结果

$$f(2)=\frac13,\qquad f\!\left(\frac12\right)=\frac{1}{1+\frac12}=\frac23$$

把结果相加：1/3＋2/3=1。图中甲块表示 1/3，乙块表示 2/3，两个灰框都用同样的“一整条”作单位。

甲：f(2)=1/3；乙：f(1/2)=2/3。

上下灰框各代表同样长的一整条，长度都是 1。

甲

乙

箭头：乙先向右，再向上。虚线框记乙的原位置，不另算一块。

甲＋乙 = 1/3＋2/3 = 1

甲、乙两块长度没有改变。把乙块拼到甲块的右边，正好填满长度 1。这里表示的是 两个计算结果的和，不是说输入 2＋1/2=1；实际上 2＋1/2=5/2。

这对算通了，给了我们一个猜想：输入互为倒数时，对应的两个结果可能总能凑成 1。接下来要说明原因。

第二步：为什么任何一对都能凑成 1

先看输入为 1/x 时的结果：

$$f\!\left(\frac1x\right)=\frac{1}{1+\frac1x}$$

我们想把它和 f(x)=1/(1+x) 相加。因此，先想办法把分母也写成 1+x。

分数的分子、分母同乘一个不为 0 的数，值不变。这里 x 为正数，可以同乘 x：

$$\frac{1}{1+\frac1x}=\frac{1\times x}{\left(1+\frac1x\right)\times x}=\frac{x}{x+1}=\frac{x}{1+x}$$

分母里的乘法可以分别计算：1×x=x，(1/x)×x=1，所以分母是 x+1。

现在两个分母相同，只加分子：

$$f(x)+f\!\left(\frac1x\right)=\frac{1}{1+x}+\frac{x}{1+x}=\frac{1+x}{1+x}=1\quad(x>0)$$

这个理由对任意正数 x 都成立。它不只检查了 2 和 3，因此可以用于原和式里的每一对。“同一个分母，两个分子合起来恰好等于分母”才是凑成 1 的依据。

第三步：每项只用一次，数清对数

只展开 3 对，其余配对省略；原题全部共 2022 对。

1. f(2023)＋f(1/2023)

   1/2024＋2023/2024 = 1

2. f(2022)＋f(1/2022)

   1/2023＋2022/2023 = 1

3. f(2)＋f(1/2)

   1/3＋2/3 = 1

单独计算 1 项：

f(1) = 1/2

整数 2、3、…、2023 各配一个对应的倒数，互不重复：

$$\text{对数}=2023-2+1=2022$$

正中间只有 一个 f(1)。虽然 1 的倒数仍是 1，但不能凭空再添一项，把这个 f(1) 配给自己。

$$f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac12$$

所以总和是：

$$2022\times1+\frac12=\frac{4044+1}{2}=\boxed{\frac{4045}{2}}$$

再独立核对项数：整数部分 1 到 2023 有 2023 项，倒数部分 1/2 到 1/2023 有 2022 项，总计 4045 项。去掉单独的 f(1)，剩 4044 项，正好分为 2022 对。

换条件后，先检查伙伴还在不在

若把最大整数换成 N，仍完整保留 N、N−1、…、2、1、1/2、…、1/N，N 为正整数，则有 N−1 对，再加一个 1/2：

$$\text{总和}=(N-1)+\frac12=\frac{2N-1}{2}$$

N=1 时没有可配的两项，只剩 f(1)=1/2，也符合这个式子。

但若去掉某项，不能只看最大数继续套式子。比如：

• 只去掉 f(1)：原来的倒数对都还在，但不再加 1/2。
• 去掉 f(1/N)（N≥2）：f(N) 失去伙伴，要把 f(N) 单独算，不能仍把它当作一对的和 1。

检查自己是否看懂

1. f(3)＋f(2)＋f(1)＋f(1/2)＋f(1/3) 的和是多少？请指出每一对。
2. 去掉其中的 f(1/3) 后，还能说“两对，再加 1/2”吗？剩下哪些项需要单独算？

展开核对答案与理由

1. f(3) 与 f(1/3) 一对，f(2) 与 f(1/2) 一对，每对为 1；另有 f(1)=1/2。总和 2+1/2=5/2。

2. 不能。只有 f(2) 与 f(1/2) 这一对完整。f(3)=1/4 和 f(1)=1/2 单独计算，总和 1+1/4+1/2=7/4。少了 f(1/3)=3/4，也可用原和 5/2−3/4=7/4 反算核对。

可迁移的做法是：从和式找输入关系 → 说明对应结果相加恒定 → 每项只用一次 → 未配对的项另算。本题依赖 f(x)=1/(1+x) 这条定义和正数条件；换定义后，要重新说明每对的和。

真题迁移：两个分子正好补成分母

2022·天津·第 7 题

这题检验上面“每对为什么为 1”的同分母加法，不含长和式，也不需要数对数。先看两个分母是否相同，再看两个分子相加得到什么。

计算 $\frac{a+1}{a+2}+\frac{1}{a+2}$ 的结果是（　　）。

A. 1　　B. $\frac{2}{a+2}$　　C. a+2　　D. $\frac{a}{a+2}$

展开真题答案与解析

选 A。共同分母是 a+2，分子相加为 (a+1)+1=a+2。因此整个分式是 (a+2)/(a+2)=1。原式有意义时 a≠−2，不能把分子、分母同时为 0 的情况约成 1。

本题的联系是：1+x 与 x+1 相同，两分子 1 与 x 合起来刚好补满分母。本真题把两个分子换成 a+1 与 1，仍按这个关系相加。

出处：天津本地宝转载的 2022 天津中考原卷，对照卷首年份与原卷第 2 页第（7）题逐字核验，原题无附图。题干与四个选项完整保留；答案默认折叠。

配对的另一种组织方法见倒序相加。回到练习册专题页。